Номер 1.496, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.496. Упростите выражение, используя формулы двойных углов:

а) $2\sin 6\alpha \cos 6\alpha$;

б) $2\sin \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

в) $\frac{2\cos^2 \alpha}{\sin 2\alpha}$;

г) $\frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos^2 \alpha}$;

д) $\cos^2 3\alpha - \sin^2 3\alpha$;

е) $\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \cos^2 \frac{\alpha}{2}$;

ж) $2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha$;

з) $(1 + \cos 2\alpha) \operatorname{tg}\alpha$;

и) $\frac{2\operatorname{tg} 4\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 4\alpha}$;

к) $\frac{2\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{1 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}$;

л) $\operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{ctg} \alpha$.

а) $2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha)$
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.
В данном выражении $x = 6\alpha$.
Подставляем в формулу: $2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha) = \sin(2 \cdot 6\alpha) = \sin(12\alpha)$.
Ответ: $\sin(12\alpha)$.

б) $2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$
Применяем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$.
$2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.
Далее используем формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos(y)$.
$\sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Ответ: $\cos(2\alpha)$.

в) $\frac{2\cos^2\alpha}{\sin(2\alpha)}$
Раскладываем синус двойного угла в знаменателе по формуле $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
$\frac{2\cos^2\alpha}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Полученное выражение является котангенсом альфа.
Ответ: $\text{ctg}(\alpha)$.

г) $\frac{\sin(2\alpha)}{1 - \cos^2\alpha}$
Используем основное тригонометрическое тождество в знаменателе: $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
$\frac{\sin(2\alpha)}{\sin^2\alpha}$.
Раскладываем синус двойного угла в числителе: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
$\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\text{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $2\text{ctg}(\alpha)$.

д) $\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha)$
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, где $x=3\alpha$.
$\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha) = \cos(2 \cdot 3\alpha) = \cos(6\alpha)$.
Ответ: $\cos(6\alpha)$.

е) $\sin^2\frac{\alpha}{2} - \cos^2\frac{\alpha}{2}$
Выносим знак минус за скобки, чтобы получить формулу косинуса двойного угла: $-(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2})$.
Применяем формулу $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, где $x=\frac{\alpha}{2}$.
$-(\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2})) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$.

ж) $2\cos^2\alpha - \cos(2\alpha)$
Используем одну из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
$2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1$.
Ответ: $1$.

з) $(1 + \cos(2\alpha))\text{tg}\alpha$
Используем формулу $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.
Представляем тангенс как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$(2\cos^2\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Полученное выражение сворачиваем по формуле синуса двойного угла.
Ответ: $\sin(2\alpha)$.

и) $\frac{2\text{tg}(4\alpha)}{1 - \text{tg}^2(4\alpha)}$
Данное выражение является формулой тангенса двойного угла: $\text{tg}(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 - \text{tg}^2(x)}$, где $x=4\alpha$.
$\frac{2\text{tg}(4\alpha)}{1 - \text{tg}^2(4\alpha)} = \text{tg}(2 \cdot 4\alpha) = \text{tg}(8\alpha)$.
Ответ: $\text{tg}(8\alpha)$.

к) $\frac{2\text{tg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{1 - \text{tg}^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$
Применяем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 - \text{tg}^2(x)}$, где $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$.
$\text{tg}(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.
Используем формулу приведения: $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - y) = \text{ctg}(y)$.
$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \text{ctg}(2\alpha)$.
Ответ: $\text{ctg}(2\alpha)$.

л) $\text{tg}(2\alpha)\text{ctg}\alpha$
Представим тригонометрические функции через синусы и косинусы:
$\text{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Выражение принимает вид: $\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Раскроем синус двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos(2\alpha)} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)}$.
Используем формулу $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.
$\frac{1 + \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{1}{\cos(2\alpha)} + \frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1 + \frac{1}{\cos(2\alpha)}$.
Ответ: $1 + \frac{1}{\cos(2\alpha)}$.