Номер 1.503, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.503. Упростите выражение:

а) $\frac{1+\sin\alpha}{2\cos\alpha+\sin 2\alpha}$;

б) $\cos 2\alpha + \operatorname{tg}\alpha \sin 2\alpha$;

В) $2\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)$;

Г) $\frac{2\sin(\pi-\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)-\sin^2(\alpha-\pi)}$.

а) Исходное выражение: $\frac{1 + \sin\alpha}{2\cos\alpha + \sin 2\alpha}$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ в знаменателе:
$\frac{1 + \sin\alpha}{2\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}$
Вынесем общий множитель $2\cos\alpha$ в знаменателе:
$\frac{1 + \sin\alpha}{2\cos\alpha(1 + \sin\alpha)}$
Сократим дробь на $(1 + \sin\alpha)$:
$\frac{1}{2\cos\alpha}$
Ответ: $\frac{1}{2\cos\alpha}$.

б) Исходное выражение: $\cos 2\alpha + \tg\alpha \sin 2\alpha$
Заменим $\tg\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\sin 2\alpha$ на $2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\cos 2\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha$
Сократим $\cos\alpha$ во втором слагаемом:
$\cos 2\alpha + 2\sin^2\alpha$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$:
$(1 - 2\sin^2\alpha) + 2\sin^2\alpha$
Упростим выражение:
$1 - 2\sin^2\alpha + 2\sin^2\alpha = 1$
Ответ: 1.

в) Исходное выражение: $2\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$
Применим формулы приведения:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$
$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$
Подставим преобразованные выражения:
$2(\cos\alpha)(-\sin\alpha) = -2\sin\alpha\cos\alpha$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:
$-\sin 2\alpha$
Ответ: $-\sin 2\alpha$.

г) Исходное выражение: $\frac{2\sin(\pi - \alpha)\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin^2(\alpha - \frac{\pi}{2}) - \sin^2(\alpha - \pi)}$
Упростим числитель с помощью формул приведения:
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$
Числитель равен $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$.
Теперь упростим знаменатель:
$\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$. Следовательно, $\sin^2(\alpha - \frac{\pi}{2}) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$.
$\sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно, $\sin^2(\alpha - \pi) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.
Знаменатель равен $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tg 2\alpha$
Ответ: $\tg 2\alpha$.