Номер 1.508, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.508. Найдите $\frac{3\sin2\alpha - 4\cos2\alpha}{5\cos2\alpha - \sin2\alpha}$, если известно, что $\operatorname{tg}\alpha = 3.$

Для нахождения значения данного выражения можно использовать известный тангенс угла $\alpha$. Преобразуем исходную дробь, разделив ее числитель и знаменатель на $\cos(2\alpha)$, при условии, что $\cos(2\alpha) \neq 0$.

$$ \frac{3\sin(2\alpha) - 4\cos(2\alpha)}{5\cos(2\alpha) - \sin(2\alpha)} = \frac{\frac{3\sin(2\alpha) - 4\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}}{\frac{5\cos(2\alpha) - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}} = \frac{3\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} - 4}{5 - \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}} $$

По определению тангенса $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, поэтому наше выражение можно переписать через $\tan(2\alpha)$:

$$ \frac{3\tan(2\alpha) - 4}{5 - \tan(2\alpha)} $$

Теперь необходимо найти значение $\tan(2\alpha)$, зная, что $\tan(\alpha) = 3$. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$$ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} $$

Подставим известное значение $\tan(\alpha) = 3$ в эту формулу:

$$ \tan(2\alpha) = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} $$

Так как мы получили конечное значение для $\tan(2\alpha)$, наше допущение, что $\cos(2\alpha) \neq 0$, является верным.

Теперь подставим найденное значение $\tan(2\alpha) = -\frac{3}{4}$ обратно в преобразованное выражение:

$$ \frac{3(-\frac{3}{4}) - 4}{5 - (-\frac{3}{4})} = \frac{-\frac{9}{4} - 4}{5 + \frac{3}{4}} $$

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:

$$ \frac{-\frac{9}{4} - \frac{16}{4}}{\frac{20}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{-9 - 16}{4}}{\frac{20 + 3}{4}} = \frac{-\frac{25}{4}}{\frac{23}{4}} $$

Упростим полученное выражение:

$$ -\frac{25}{4} \cdot \frac{4}{23} = -\frac{25}{23} $$

Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:

$$ -\frac{25}{23} = -1\frac{2}{23} $$

Ответ: $-1\frac{2}{23}$