Номер 1.511, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.511. Упростите выражение:

а) $ \frac{\sin 9\alpha}{\sin 3\alpha} - \frac{\cos 9\alpha}{\cos 3\alpha} - 2; $

б) $ \frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha}; $

В) $ 8\sin^2 (\pi - \alpha)\sin^2 (\frac{3\pi}{2} + \alpha) - 1. $

а) $\frac{\sin(9\alpha)}{\sin(3\alpha)} - \frac{\cos(9\alpha)}{\cos(3\alpha)} - 2$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами синуса и косинуса тройного угла:
$\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$
$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$

Пусть $x = 3\alpha$. Тогда $3x = 9\alpha$. Подставим это в формулы:

$\sin(9\alpha) = 3\sin(3\alpha) - 4\sin^3(3\alpha)$
$\cos(9\alpha) = 4\cos^3(3\alpha) - 3\cos(3\alpha)$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$\frac{3\sin(3\alpha) - 4\sin^3(3\alpha)}{\sin(3\alpha)} - \frac{4\cos^3(3\alpha) - 3\cos(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} - 2$

Разделим почленно в каждой дроби:

$(3 - 4\sin^2(3\alpha)) - (4\cos^2(3\alpha) - 3) - 2$

Раскроем скобки:

$3 - 4\sin^2(3\alpha) - 4\cos^2(3\alpha) + 3 - 2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель -4 за скобки:

$(3 + 3 - 2) - 4(\sin^2(3\alpha) + \cos^2(3\alpha))$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$4 - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

Ответ: 0

б) $\frac{\sin\alpha + \sin(2\alpha)}{1 + \cos\alpha + \cos(2\alpha)}$

Применим формулы двойного угла:
$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$

Преобразуем числитель:

$\sin\alpha + \sin(2\alpha) = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)$

Преобразуем знаменатель, выбрав удобную формулу для косинуса двойного угла, чтобы сократить единицу:

$1 + \cos\alpha + \cos(2\alpha) = 1 + \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = \cos\alpha + 2\cos^2\alpha = \cos\alpha(1 + 2\cos\alpha)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)}{\cos\alpha(1 + 2\cos\alpha)}$

Сократим общий множитель $(1 + 2\cos\alpha)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$

в) $8\sin^2(\pi - \alpha)\sin^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) - 1$

Используем формулы приведения для упрощения тригонометрических функций:

1. $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (угол во второй четверти, синус положителен).

2. $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha$ (угол в четвертой четверти, синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию).

Подставим эти результаты в исходное выражение:

$8(\sin\alpha)^2(-\cos\alpha)^2 - 1 = 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 1$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Возведем ее в квадрат: $\sin^2(2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Представим $8\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ как $2 \cdot (4\sin^2\alpha\cos^2\alpha)$:

$2 \cdot (4\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 = 2\sin^2(2\alpha) - 1$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла в виде $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Из нее следует, что $2\sin^2(x) - 1 = -\cos(2x)$.

В нашем случае $x = 2\alpha$, тогда $2x = 4\alpha$.

$2\sin^2(2\alpha) - 1 = -\cos(2 \cdot 2\alpha) = -\cos(4\alpha)$

Ответ: $-\cos(4\alpha)$