Номер 1.518, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.518. Решите систему уравнений $ \begin{cases} 2x + 7y = 3, \\ 3x + 5y = 1 \end{cases} $ способом сложения.

Для решения системы уравнений $$ \begin{cases} 2x + 7y = 3 \\ 3x + 5y = 1 \end{cases} $$ способом сложения, необходимо умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы исключить переменную $x$.

Выполним умножение: $$ \begin{cases} 3 \cdot (2x + 7y) = 3 \cdot 3 \\ -2 \cdot (3x + 5y) = -2 \cdot 1 \end{cases} $$ Получим новую, эквивалентную систему: $$ \begin{cases} 6x + 21y = 9 \\ -6x - 10y = -2 \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения полученной системы почленно (левую часть с левой, правую с правой): $$ (6x + 21y) + (-6x - 10y) = 9 + (-2) $$ Приводим подобные слагаемые: $$ 11y = 7 $$ Отсюда находим $y$: $$ y = \frac{7}{11} $$

Подставим найденное значение $y = \frac{7}{11}$ в любое из исходных уравнений, например, во второе ($3x + 5y = 1$): $$ 3x + 5 \cdot \left(\frac{7}{11}\right) = 1 $$ $$ 3x + \frac{35}{11} = 1 $$ Выразим $3x$: $$ 3x = 1 - \frac{35}{11} $$ $$ 3x = \frac{11}{11} - \frac{35}{11} $$ $$ 3x = -\frac{24}{11} $$ Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$: $$ x = -\frac{24}{11 \cdot 3} = -\frac{8}{11} $$

Ответ: $x = -\frac{8}{11}, y = \frac{7}{11}$.