Номер 1.522, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.522. Вычислите:

a) $sin 15^\circ + \sin 105^\circ;$

б) $\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12}.$

а) Для вычисления суммы синусов $\sin 15^\circ + \sin 105^\circ$ воспользуемся формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (формула суммы синусов):
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $
В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $ и $ \beta = 105^\circ $.
Подставим эти значения в формулу:
$ \sin 15^\circ + \sin 105^\circ = 2 \sin\left(\frac{15^\circ+105^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{15^\circ-105^\circ}{2}\right) $
Выполним вычисления в аргументах синуса и косинуса:
$ = 2 \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{-90^\circ}{2}\right) = 2 \sin(60^\circ) \cos(-45^\circ) $
Используем свойство четности функции косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $:
$ 2 \sin(60^\circ) \cos(-45^\circ) = 2 \sin(60^\circ) \cos(45^\circ) $
Подставим табличные значения для $ \sin(60^\circ) $ и $ \cos(45^\circ) $:
$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Вычисляем итоговое значение:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $

б) Для вычисления суммы косинусов $ \cos\frac{\pi}{12} + \cos\frac{7\pi}{12} $ воспользуемся формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (формула суммы косинусов):
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $
В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{12} $.
Подставим эти значения в формулу:
$ \cos\frac{\pi}{12} + \cos\frac{7\pi}{12} = 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{12}+\frac{7\pi}{12}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}}{2}\right) $
Выполним вычисления в аргументах косинусов:
Сумма углов: $ \frac{\pi}{12}+\frac{7\pi}{12} = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} $
Разность углов: $ \frac{\pi}{12}-\frac{7\pi}{12} = -\frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} $
Подставляем обратно в выражение:
$ = 2 \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}\right) \cos\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) $
Используем свойство четности функции косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $:
$ 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $
Подставим табличные значения для $ \cos(\frac{\pi}{3}) $ и $ \cos(\frac{\pi}{4}) $:
$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $
$ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Вычисляем итоговое значение:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $