Номер 1.521, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.521. Преобразуйте в произведение:

а) $\cos 5\alpha + \cos 3\alpha$;

б) $\sin 4\alpha - \sin 10\alpha$;

в) $\cos \alpha - \cos 4\alpha$;

г) $\sin 0.5\alpha + \sin 1.5\alpha$.

Для решения данной задачи используются формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

• Сумма косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$
• Разность синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$
• Разность косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$
• Сумма синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

а) Для преобразования выражения $\cos 5\alpha + \cos 3\alpha$ используем формулу суммы косинусов.
$\cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos\left(\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2 \cos 4\alpha \cos\alpha$.
Ответ: $2 \cos 4\alpha \cos\alpha$.

б) Для преобразования выражения $\sin 4\alpha - \sin 10\alpha$ используем формулу разности синусов.
$\sin 4\alpha - \sin 10\alpha = 2 \cos\left(\frac{4\alpha+10\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{4\alpha-10\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{14\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-6\alpha}{2}\right) = 2 \cos 7\alpha \sin(-3\alpha)$.
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:
$2 \cos 7\alpha (-\sin 3\alpha) = -2 \cos 7\alpha \sin 3\alpha$.
Ответ: $-2 \cos 7\alpha \sin 3\alpha$.

в) Для преобразования выражения $\cos\alpha - \cos 4\alpha$ используем формулу разности косинусов.
$\cos\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin\left(\frac{\alpha+4\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-4\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-3\alpha}{2}\right)$.
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:
$-2 \sin\left(\frac{5\alpha}{2}\right) \left(-\sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right)$.
Аргументы синусов содержат неправильные дроби $\frac{5}{2}$ и $\frac{3}{2}$. Выделим в них целую часть: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $2 \sin\left({\mathbf 2}\frac{1}{2}\alpha\right) \sin\left({\mathbf 1}\frac{1}{2}\alpha\right)$.

г) Для преобразования выражения $\sin 0,5\alpha + \sin 1,5\alpha$ используем формулу суммы синусов.
$\sin 0,5\alpha + \sin 1,5\alpha = 2 \sin\left(\frac{0,5\alpha+1,5\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{0,5\alpha-1,5\alpha}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{-\alpha}{2}\right) = 2 \sin\alpha \cos(-0,5\alpha)$.
Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), получаем:
$2 \sin\alpha \cos 0,5\alpha$.
Ответ: $2 \sin\alpha \cos 0,5\alpha$.