Номер 1.526, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.526. Упростите выражение:

а) $\frac{\sin4\alpha}{\sin\alpha - \sin3\alpha}$;

б) $\frac{\sin\alpha - 2\sin2\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha - 2\cos2\alpha + \cos3\alpha}$.

а) Упростим выражение $\frac{\sin4\alpha}{\sin\alpha - \sin3\alpha}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эту формулу к знаменателю:

$\sin\alpha - \sin3\alpha = 2 \cos\left(\frac{\alpha+3\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2 \cos(2\alpha) \sin(-\alpha)$

Так как $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получаем:

$\sin\alpha - \sin3\alpha = -2 \cos(2\alpha) \sin\alpha$

Теперь преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$\sin4\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha)$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha)}{-2 \cos(2\alpha) \sin\alpha}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos(2\alpha)$ (при условии, что $\cos(2\alpha) \neq 0$):

$-\frac{\sin(2\alpha)}{\sin\alpha}$

Снова применим формулу синуса двойного угла для $\sin(2\alpha)$:

$-\frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha}$

Сократим на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):

$-2\cos\alpha$

Ответ: $-2\cos\alpha$

б) Упростим выражение $\frac{\sin\alpha - 2\sin2\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha - 2\cos2\alpha + \cos3\alpha}$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$\frac{(\sin3\alpha + \sin\alpha) - 2\sin2\alpha}{(\cos3\alpha + \cos\alpha) - 2\cos2\alpha}$

Преобразуем сумму синусов в числителе по формуле $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$:

$\sin3\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\left(\frac{3\alpha+\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{3\alpha-\alpha}{2}\right) = 2\sin(2\alpha)\cos\alpha$

Числитель примет вид:

$2\sin(2\alpha)\cos\alpha - 2\sin2\alpha = 2\sin(2\alpha)(\cos\alpha - 1)$

Преобразуем сумму косинусов в знаменателе по формуле $\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$:

$\cos3\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\left(\frac{3\alpha+\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{3\alpha-\alpha}{2}\right) = 2\cos(2\alpha)\cos\alpha$

Знаменатель примет вид:

$2\cos(2\alpha)\cos\alpha - 2\cos2\alpha = 2\cos(2\alpha)(\cos\alpha - 1)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{2\sin(2\alpha)(\cos\alpha - 1)}{2\cos(2\alpha)(\cos\alpha - 1)}$

Сократим общий множитель $2(\cos\alpha - 1)$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 1$):

$\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \tan(2\alpha)$

Ответ: $\tan(2\alpha)$