Номер 1.533, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.533. Преобразуйте в произведение:

a) $\cos 8\alpha + \cos 4\alpha;$

б) $\sin 2\alpha - \sin 5\alpha;$

в) $\cos \alpha - \cos 3\alpha;$

г) $\sin \alpha + \sin 10\alpha.$

Для решения данной задачи используются формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

• Сумма косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
• Разность косинусов: $ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $
• Сумма синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
• Разность синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} $

а) Для преобразования выражения $ \cos 8\alpha + \cos 4\alpha $ используем формулу суммы косинусов.
Пусть $ x = 8\alpha $ и $ y = 4\alpha $.
$ \cos 8\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{8\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{8\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos\frac{12\alpha}{2} \cos\frac{4\alpha}{2} = 2 \cos 6\alpha \cos 2\alpha $.
Ответ: $ 2 \cos 6\alpha \cos 2\alpha $

б) Для преобразования выражения $ \sin 2\alpha - \sin 5\alpha $ используем формулу разности синусов.
Пусть $ x = 2\alpha $ и $ y = 5\alpha $.
$ \sin 2\alpha - \sin 5\alpha = 2 \sin\frac{2\alpha-5\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha+5\alpha}{2} = 2 \sin\frac{-3\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha}{2} $.
Так как синус является нечетной функцией ($ \sin(-z) = -\sin(z) $), получаем:
$ 2 \sin(-\frac{3\alpha}{2}) \cos(\frac{7\alpha}{2}) = -2 \sin\frac{3\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha}{2} $.
Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа, выделив целую часть: $ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -2 \sin\left(\mathbf{1}\frac{1}{2}\alpha\right) \cos\left(\mathbf{3}\frac{1}{2}\alpha\right) $

в) Для преобразования выражения $ \cos\alpha - \cos 3\alpha $ используем формулу разности косинусов.
Пусть $ x = \alpha $ и $ y = 3\alpha $.
$ \cos\alpha - \cos 3\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+3\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2 \sin\frac{4\alpha}{2} \sin\frac{-2\alpha}{2} = -2 \sin 2\alpha \sin(-\alpha) $.
Так как синус является нечетной функцией ($ \sin(-z) = -\sin(z) $), получаем:
$ -2 \sin 2\alpha (-\sin\alpha) = 2 \sin 2\alpha \sin\alpha $.
Ответ: $ 2 \sin 2\alpha \sin\alpha $

г) Для преобразования выражения $ \sin\alpha + \sin 10\alpha $ используем формулу суммы синусов.
Пусть $ x = \alpha $ и $ y = 10\alpha $.
$ \sin\alpha + \sin 10\alpha = 2 \sin\frac{\alpha+10\alpha}{2} \cos\frac{\alpha-10\alpha}{2} = 2 \sin\frac{11\alpha}{2} \cos\frac{-9\alpha}{2} $.
Так как косинус является четной функцией ($ \cos(-z) = \cos(z) $), получаем:
$ 2 \sin\frac{11\alpha}{2} \cos(-\frac{9\alpha}{2}) = 2 \sin\frac{11\alpha}{2} \cos\frac{9\alpha}{2} $.
Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа, выделив целую часть: $ \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} $ и $ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 2 \sin\left(\mathbf{5}\frac{1}{2}\alpha\right) \cos\left(\mathbf{4}\frac{1}{2}\alpha\right) $