Номер 1.538, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.538. Упростите выражение:

a) $\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha - \cos \beta}$;

б) $\frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha + \cos \alpha}$;

в) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}$.

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

• Формула суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$
• Формула разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю исходной дроби:

$\frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha - \cos\beta} = \frac{2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{-2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$ (при условии, что $\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \neq 0$):

$\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{-\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Используя определение котангенса $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, получаем:

$-\cot\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Ответ: $-\cot\frac{\alpha-\beta}{2}$

б) Для упрощения выражения $\frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha + \cos \alpha}$ преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

В числителе используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$\sin 4\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$

В знаменателе используем формулу суммы косинусов:

$\cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha$

Подставим преобразованные части обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos 2\alpha$ (при условии, что $\cos 2\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin 2\alpha}{\cos \alpha}$

Снова применим формулу синуса двойного угла к числителю:

$\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}$

Сократим $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$2 \sin \alpha$

Ответ: $2 \sin \alpha$

в) Для упрощения выражения $\frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}$ сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы преобразования суммы в произведение.

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

Числитель: $(\sin 5\alpha + \sin\alpha) + \sin 3\alpha$

Знаменатель: $(\cos 5\alpha + \cos\alpha) + \cos 3\alpha$

Преобразуем суммы в скобках:

$\sin 5\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\frac{5\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha$

$\cos 5\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\frac{5\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha$

Подставим полученные выражения обратно и вынесем общий множитель за скобки:

Числитель: $2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha = \sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)$

Знаменатель: $2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha = \cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)$

Теперь наша дробь имеет вид:

$\frac{\sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}$

Сократим общий множитель $(2 \cos 2\alpha + 1)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tan 3\alpha$

Ответ: $\tan 3\alpha$