Номер 1.532, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.532. Упростите выражение $\left(\frac{\sin\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin 2\alpha}\right)\frac{\sin 7\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Для упрощения выражения $ \left(\frac{\sin\alpha}{\cos2\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin2\alpha}\right) \frac{\sin7\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha} $ выполним следующие преобразования:

1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $ \sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $:

В числителе мы видим выражение, соответствующее формуле косинуса разности: $ \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B) $.
Применим эту формулу, где $ A = 2\alpha $ и $ B = \alpha $:

Таким образом, выражение в скобках упрощается до:

2. Теперь упростим второй множитель $ \frac{\sin7\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha} $.
Для числителя применим формулу преобразования суммы синусов в произведение: $ \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $.

Таким образом, второй множитель равен:

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

Сократим общий множитель $ \cos\alpha $ в числителе и знаменателе:

4. Для финального упрощения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $.
Из этой формулы следует, что знаменатель $ \sin2\alpha\cos2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $.
Подставим это выражение в знаменатель:

Сократим $ \sin(4\alpha) $ (при условии, что $ \sin(4\alpha) \neq 0 $):

Ответ: $ 4\cos(3\alpha) $