Номер 1.530, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.530. Преобразуйте в произведение:

a) $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos 6\alpha$;

б) $2\cos\alpha \sin\alpha + \sin 4\alpha$.

a) Для преобразования выражения $cos^2 \alpha - sin^2 \alpha + cos 6\alpha$ в произведение, выполним следующие шаги:

1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x$. Применив ее к первым двум слагаемым, получим:

$$cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = cos(2\alpha)$$

2. Теперь исходное выражение принимает вид суммы двух косинусов:

$$cos(2\alpha) + cos(6\alpha)$$

3. Применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение: $cos A + cos B = 2 cos\left(\frac{A+B}{2}\right) cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$.

В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = 6\alpha$. Подставляем эти значения в формулу:

$$cos(2\alpha) + cos(6\alpha) = 2 cos\left(\frac{2\alpha + 6\alpha}{2}\right) cos\left(\frac{2\alpha - 6\alpha}{2}\right)$$

4. Упростим выражения в аргументах:

$$= 2 cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right) cos\left(\frac{-4\alpha}{2}\right) = 2 cos(4\alpha) cos(-2\alpha)$$

5. Используем свойство четности функции косинуса, согласно которому $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-2\alpha) = cos(2\alpha)$.

Окончательный результат:

$$2 cos(4\alpha) cos(2\alpha)$$

Ответ: $2 cos(2\alpha) cos(4\alpha)$.

б) Для преобразования выражения $2cos\alpha sin\alpha + sin 4\alpha$ в произведение, выполним следующие шаги:

1. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin x cos x$. Применив ее к первому слагаемому, получим:

$$2cos\alpha sin\alpha = sin(2\alpha)$$

2. Теперь исходное выражение принимает вид суммы двух синусов:

$$sin(2\alpha) + sin(4\alpha)$$

3. Применим формулу преобразования суммы синусов в произведение: $sin A + sin B = 2 sin\left(\frac{A+B}{2}\right) cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$.

В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = 4\alpha$. Подставляем эти значения в формулу:

$$sin(2\alpha) + sin(4\alpha) = 2 sin\left(\frac{2\alpha + 4\alpha}{2}\right) cos\left(\frac{2\alpha - 4\alpha}{2}\right)$$

4. Упростим выражения в аргументах:

$$= 2 sin\left(\frac{6\alpha}{2}\right) cos\left(\frac{-2\alpha}{2}\right) = 2 sin(3\alpha) cos(-\alpha)$$

5. Используем свойство четности функции косинуса, согласно которому $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Окончательный результат:

$$2 sin(3\alpha) cos(\alpha)$$

Ответ: $2 sin(3\alpha) cos(\alpha)$.