Номер 1.534, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.534. Вычислите:

a) $\sin 105^\circ - \sin 75^\circ$;

б) $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$.

a) Для вычисления разности синусов $\sin 105^\circ - \sin 75^\circ$ воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение:
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$
В нашем случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\sin 105^\circ - \sin 75^\circ = 2 \sin\left(\frac{105^\circ - 75^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{105^\circ + 75^\circ}{2}\right)$
Вычислим значения аргументов синуса и косинуса:
$\frac{105^\circ - 75^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$
$\frac{105^\circ + 75^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$
Теперь подставим вычисленные углы обратно в выражение:
$2 \sin(15^\circ) \cos(90^\circ)$
Мы знаем, что значение косинуса $90^\circ$ равно нулю: $\cos(90^\circ) = 0$.
Следовательно, все выражение равно нулю:
$2 \sin(15^\circ) \cdot 0 = 0$
Ответ: 0

б) Для вычисления суммы синусов $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$ воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
В данном случае $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right)$
Вычислим значения аргументов синуса и косинуса:
$\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
$\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
Подставим полученные углы в выражение:
$2 \sin(45^\circ) \cos(30^\circ)$
Используем табличные значения синуса и косинуса:
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем эти значения и вычисляем результат:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$