Номер 1.541, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.541. Упростите выражение

$(\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos2\alpha}) \frac{\cos\alpha - \cos7\alpha}{\sin\alpha}$.

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам.

Шаг 1: Упрощение выражения в скобках.

Приведем дроби $\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha}$ и $\frac{\cos\alpha}{\cos2\alpha}$ к общему знаменателю $\sin2\alpha \cos2\alpha$:

$$ \frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{\sin\alpha \cos2\alpha - \cos\alpha \sin2\alpha}{\sin2\alpha \cos2\alpha} $$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу синуса разности углов $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, где $x=\alpha$ и $y=2\alpha$:

$$ \sin\alpha \cos2\alpha - \cos\alpha \sin2\alpha = \sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $$

Знаменатель можно упростить с помощью формулы синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Отсюда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Для нашего случая ($x=2\alpha$):

$$ \sin2\alpha \cos2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$$ \frac{-\sin\alpha}{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)} = -\frac{2\sin\alpha}{\sin(4\alpha)} $$

Шаг 2: Упрощение второго множителя.

Рассмотрим дробь $\frac{\cos\alpha - \cos7\alpha}{\sin\alpha}$.

Преобразуем числитель, используя формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$$ \cos\alpha - \cos7\alpha = -2\sin\left(\frac{\alpha+7\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-7\alpha}{2}\right) = -2\sin(4\alpha)\sin(-3\alpha) $$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-z) = -\sin z$), то:

$$ -2\sin(4\alpha)\sin(-3\alpha) = -2\sin(4\alpha)(-\sin(3\alpha)) = 2\sin(4\alpha)\sin(3\alpha) $$

Тогда второй множитель равен:

$$ \frac{2\sin(4\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin\alpha} $$

Шаг 3: Вычисление итогового выражения.

Перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$$ \left(-\frac{2\sin\alpha}{\sin(4\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{2\sin(4\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin\alpha}\right) $$

Сокращаем $\sin\alpha$ и $\sin(4\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю, что соответствует области допустимых значений исходного выражения):

$$ -2 \cdot 2\sin(3\alpha) = -4\sin(3\alpha) $$

Ответ: $-4\sin(3\alpha)$.