Номер 2, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. а) Выразите в градусах угол $ \frac{7\pi}{18} $ рад;

б) выразите в градусах угол -2,8 рад;

в) выразите в радианах угол -240°.

2. а)

Для перевода угла из радианной меры в градусную используется формула: $ \alpha_{градусы} = \alpha_{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} $.
Подставим в нее заданный угол:

$ \frac{7\pi}{18} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{18} = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ $.

Ответ: $70^\circ$.

2. б)

Используем ту же формулу для перевода радиан в градусы:
$ -2,8 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{28}{10} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{14}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -14 \cdot 36^\circ \cdot \frac{1}{\pi} = -\frac{504}{\pi}^\circ $.
Это точное значение угла.

Ответ: $-\frac{504}{\pi}^\circ$.

2. в)

Для перевода угла из градусной меры в радианную используется формула: $ \alpha_{радианы} = \alpha_{градусы} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} $.
Подставим заданное значение:

$ -240^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{240\pi}{180} = -\frac{24\pi}{18} = -\frac{4\pi}{3} $ рад.

Так как $ \frac{4}{3} $ — неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $ \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $.

Ответ: $-1\frac{1}{3}\pi$ рад.

3. а)

Найдем значение выражения $ 8\sin(-\frac{\pi}{3}) - \cos(-\frac{\pi}{6}) $.
Используем свойства тригонометрических функций: синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), а косинус — четная ($ \cos(-x) = \cos(x) $).
$ 8\sin(-\frac{\pi}{3}) - \cos(-\frac{\pi}{6}) = -8\sin(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{6}) $.
Подставим табличные значения: $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ -8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -4\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Приведем к общему знаменателю:
$ -\frac{8\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{9\sqrt{3}}{2} $.
Выделим целую часть из дроби $ \frac{9}{2} $: $ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $.

Ответ: $-4\frac{1}{2}\sqrt{3}$.

3. б)

Найдем значение выражения $ \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{3} - 2\sin^2(-\frac{\pi}{6}) $.
Квадрат синуса является четной функцией: $ \sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{3} - 2\sin^2(\frac{\pi}{6}) $.
Подставим табличные значения: $ \text{tg}\frac{\pi}{4}=1 $, $ \text{ctg}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} $.
$ 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} $.
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2\sqrt{3}-3}{6} $.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}-3}{6}$.

3. в)

Найдем значение выражения $ \cos180^\circ + \sin270^\circ $.
Используем значения с единичной окружности:
$ \cos180^\circ = -1 $
$ \sin270^\circ = -1 $
Складываем полученные значения:
$ -1 + (-1) = -2 $.

Ответ: $-2$.