Номер 9, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Постройте график функции $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$ и запишите ее свойства.

Для построения графика функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1$ необходимо выполнить последовательные геометрические преобразования графика основной тригонометрической функции $y = \sin(x)$.

Построение графика:

1. Сначала строим график функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$, областью значений $[-1; 1]$.
2. Далее выполняем преобразование аргумента $x \rightarrow x + \frac{\pi}{6}$. Это соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (OX) на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево. Получаем график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6})$.
3. Наконец, выполняем преобразование функции $y \rightarrow y - 1$. Это соответствует сдвигу графика $y = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ вдоль оси ординат (OY) на 1 единицу вниз. Получаем искомый график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1$.

В результате этих преобразований синусоида будет колебаться относительно прямой $y = -1$ в диапазоне от $y = -2$ до $y = 0$.

Свойства функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1$:

• Область определения: Ответ: функция определена для всех действительных значений аргумента, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Ответ: так как $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, то $-1 - 1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1 \le 1 - 1$, следовательно, $-2 \le y \le 0$. Область значений $E(y) = [-2; 0]$.
• Периодичность: Ответ: функция является периодической. Сдвиги не влияют на период, поэтому наименьший положительный период функции такой же, как и у $y = \sin(x)$, и равен $T = 2\pi$.
• Четность, нечетность: Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида). Проверим: $y(-x) = \sin(-x + \frac{\pi}{6}) - 1$. Это выражение не равно ни $y(x)$, ни $-y(x) = -\sin(x + \frac{\pi}{6}) + 1$.
• Нули функции: Ответ: для нахождения нулей решим уравнение $y = 0$: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1 = 0 \implies \sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$. $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: Ответ: поскольку максимальное значение функции равно 0 (см. область значений), функция неположительна на всей области определения. $y \le 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. $y < 0$ при $x \neq \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Ответ: Функция возрастает, когда ее производная $y' = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ положительна. Это происходит на интервалах $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, то есть на $[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает, когда $y' < 0$. Это происходит на интервалах $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, то есть на $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$. С выделением целой части из неправильной дроби, промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \mathbf{1}\frac{1}{3}\pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы функции: Ответ: Точки максимума достигаются при $y=0$, т.е. при $x_{max} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции $y_{max} = 0$. Точки минимума достигаются, когда $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = -1$, т.е. $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, откуда $x_{min} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Также эти точки можно представить как $x_{min} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение функции $y_{min} = -2$. С выделением целой части из неправильной дроби, точки минимума: $x_{min} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \mathbf{1}\frac{1}{3}\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.