вопрос, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Определите, четным или нечетным является число $n$, если известно, что уравнение $x^n = a$ имеет:

а) два различных корня;

б) только один корень.

Для того чтобы определить, является ли число $n$ четным или нечетным, необходимо проанализировать количество действительных корней уравнения $x^n = a$ в зависимости от показателя степени $n$.

Рассмотрим два случая для натурального $n$.

Случай 1: $n$ — четное число

Если $n$ — четное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$), то функцию $y = x^n$ можно представить как $y = x^{2k}$ для некоторого натурального $k$. Эта функция является четной, то есть $(-x)^n = x^n$. Ее график симметричен относительно оси ординат, а область значений — $[0, +\infty)$.

• При $a > 0$ уравнение $x^n = a$ имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt[n]{a}$ и $x_2 = -\sqrt[n]{a}$.
• При $a = 0$ уравнение $x^n = 0$ имеет один корень: $x = 0$.
• При $a < 0$ уравнение $x^n = a$ не имеет действительных корней, так как четная степень любого действительного числа не может быть отрицательной.

Случай 2: $n$ — нечетное число

Если $n$ — нечетное число (например, $n=1, 3, 5, \dots$), то функцию $y = x^n$ можно представить как $y = x^{2k+1}$ для некоторого целого неотрицательного $k$. Эта функция является нечетной, то есть $(-x)^n = -x^n$. Ее график симметричен относительно начала координат, а область значений — все действительные числа $(-\infty, +\infty)$.

• Для любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю) уравнение $x^n = a$ всегда имеет ровно один действительный корень: $x = \sqrt[n]{a}$.

Основываясь на этом анализе, ответим на вопросы задачи.

а) два различных корня;
Из анализа следует, что уравнение $x^n = a$ может иметь два различных корня только в одном случае: когда показатель степени $n$ является четным числом, а правая часть уравнения $a$ — положительна. Таким образом, если известно, что у уравнения два различных корня, то число $n$ обязательно должно быть четным.
Ответ: число $n$ является четным.

б) только один корень.
Уравнение $x^n = a$ имеет ровно один корень в двух ситуациях:

1. Если $n$ — нечетное число. Это верно для любого действительного значения $a$.
2. Если $n$ — четное число, но только в частном случае, когда $a = 0$.

Поскольку в условии задачи не дано никаких уточнений относительно значения $a$, подразумевается общее свойство уравнения. Свойство иметь ровно один корень для любого $a$ является характеристикой именно нечетной степени $n$. Если бы $n$ было четным, то количество корней зависело бы от $a$. Следовательно, мы делаем вывод, что $n$ — нечетное число.
Ответ: число $n$ является нечетным.