Номер 2.7, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.7. Верно ли равенство:

a) $\sqrt[4]{-81} = -3$;

б) $\sqrt[3]{0,027} = 0,3$;

В) $\sqrt[8]{1} = 1$;

Г) $\sqrt[7]{-\frac{1}{128}} = -\frac{1}{2}$?

Ответ обоснуйте.

а) Равенство $\sqrt[4]{-81} = -3$ неверно.
Обоснование: Арифметический корень четной степени (в данном случае показатель корня равен 4) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Выражение $\sqrt[4]{-81}$ не имеет смысла в множестве действительных чисел, поскольку любое действительное число, возведенное в четвертую степень, является неотрицательным и не может быть равным -81.
Ответ: неверно.

б) Равенство $\sqrt[3]{0,027} = 0,3$ верно.
Обоснование: Для проверки необходимо возвести правую часть равенства в степень, равную показателю корня, то есть в третью степень.
$0,3^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027$.
Поскольку результат совпадает с подкоренным выражением, равенство является верным.
Ответ: верно.

в) Равенство $\sqrt[8]{1} = 1$ верно.
Обоснование: Для проверки возведем правую часть равенства в восьмую степень.
$1^8 = 1$.
Результат совпадает с подкоренным выражением. По определению арифметического корня, корень четной степени из неотрицательного числа есть неотрицательное число. Оба условия выполняются ($1 \ge 0$ и результат $1 \ge 0$). Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

г) Равенство $\sqrt[7]{-\frac{1}{128}} = -\frac{1}{2}$ верно.
Обоснование: Корень нечетной степени (показатель корня равен 7) определен для любых действительных чисел. Для проверки возведем правую часть равенства в седьмую степень.
$(-\frac{1}{2})^7 = (-1)^7 \cdot (\frac{1}{2})^7 = -1 \cdot \frac{1^7}{2^7} = -\frac{1}{128}$.
Поскольку результат совпадает с подкоренным выражением, равенство является верным.
Ответ: верно.