Номер 2.11, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.11. Выполните действие извлечения корня:

а) $ \sqrt[4]{16}; $

б) $ \sqrt[4]{\frac{1}{81}}; $

в) $ \sqrt[4]{10000}; $

г) $ \sqrt[4]{\frac{1}{625}}; $

д) $ \sqrt[6]{64}; $

е) $ \sqrt[10]{1}; $

ж) $ \sqrt[5]{32}; $

з) $ \sqrt[3]{0,001}; $

и) $ \sqrt[3]{125}; $

к) $ \sqrt[7]{\frac{1}{128}}; $

л) $ \sqrt[9]{0}; $

м) $ \sqrt[3]{216}. $

а) Чтобы извлечь корень четвертой степени из 16, необходимо найти число, которое при возведении в четвертую степень даст 16. Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Ответ: 2.

б) Для извлечения корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$.
Корень четвертой степени из 1 равен 1. Для знаменателя нужно найти число, которое в четвертой степени равно 81. Это число 3, так как $3^4 = 81$.
Получаем: $\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Необходимо найти число, которое при возведении в четвертую степень даст 10 000. Число 10 000 можно представить как $10^4$.
$\sqrt[4]{10 000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$.
Ответ: 10.

г) Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{625}}$.
Корень четвертой степени из 1 равен 1. Для знаменателя ищем число, которое в четвертой степени равно 625. Это число 5, так как $5^4 = 625$.
Получаем: $\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

д) Необходимо найти число, которое при возведении в шестую степень даст 64. Таким числом является 2.
$2^6 = 64$.
$\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.
Ответ: 2.

е) Корень любой натуральной степени из единицы равен единице, так как $1$ в любой степени это $1$.
$\sqrt[10]{1} = 1$.
Ответ: 1.

ж) Необходимо найти число, которое при возведении в пятую степень даст 32. Таким числом является 2.
$2^5 = 32$.
$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Ответ: 2.

з) Представим десятичную дробь 0,001 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{1000}$ или в виде степени $0,1^3$.
$\sqrt[3]{0,001} = \sqrt[3]{0,1^3} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

и) Необходимо найти число, куб которого равен 125. Это число 5.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.
Ответ: 5.

к) Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[7]{\frac{1}{128}} = \frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{128}}$.
Корень седьмой степени из 1 равен 1. Для знаменателя ищем число, которое в седьмой степени равно 128. Это число 2, так как $2^7 = 128$.
Получаем: $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

л) Корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.
$\sqrt[9]{0} = 0$.
Ответ: 0.

м) Необходимо найти число, куб которого равен 216. Это число 6.
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.
Ответ: 6.