Номер 2.18, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.18. Вычислите:

а) $\sqrt[3]{6\cos\frac{\pi}{6}}$;

б) $\sqrt[5]{\operatorname{tg}\frac{7\pi}{4}}$.

а) Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{6 \cos \frac{\pi}{6}}$, сначала найдем значение $\cos \frac{\pi}{6}$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$) является стандартным тригонометрическим значением:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{6 \cos \frac{\pi}{6}} = \sqrt[3]{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$
Упростим выражение под корнем:
$6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
Теперь необходимо извлечь кубический корень из $3\sqrt{3}$. Представим $3\sqrt{3}$ в виде степени, чтобы упростить вычисление:
$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$
Тогда, извлекая кубический корень, мы возводим выражение в степень $\frac{1}{3}$:
$\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$
Ответ: $\sqrt{3}$

б) Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[5]{\text{tg} \frac{7\pi}{4}}$, сначала найдем значение $\text{tg} \frac{7\pi}{4}$.
Используем свойство периодичности тангенса (период равен $\pi$). Можно представить угол $\frac{7\pi}{4}$ как:
$\frac{7\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$
Так как $2\pi$ — это полный оборот, то:
$\text{tg} \frac{7\pi}{4} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{4})$
Тангенс является нечетной функцией, то есть $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. Поэтому:
$\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4})$
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$) является стандартным значением:
$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$
Следовательно:
$\text{tg} \frac{7\pi}{4} = -1$
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\sqrt[5]{\text{tg} \frac{7\pi}{4}} = \sqrt[5]{-1}$
Корень нечетной степени (в данном случае 5) из отрицательного числа существует. Корень пятой степени из -1 равен -1, так как $(-1)^5 = -1 \cdot -1 \cdot -1 \cdot -1 \cdot -1 = -1$.
$\sqrt[5]{-1} = -1$
Ответ: -1