Номер 2.25, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.25. Выберите выражения, имеющие смысл:

а) $ \sqrt[6]{12} $;

б) $ \sqrt[8]{-1} $;

в) $ \sqrt[5]{6} $;

г) $ \sqrt[7]{-11} $;

д) $ \sqrt[4]{0} $.

Для того чтобы определить, имеет ли выражение вида $\sqrt[n]{a}$ (корень n-ой степени из a) смысл в области действительных чисел, необходимо руководствоваться следующими правилами:

• Если показатель корня $n$ — четное натуральное число ($n=2, 4, 6, \dots$), то подкоренное выражение $a$ должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.
• Если показатель корня $n$ — нечетное натуральное число ($n=3, 5, 7, \dots$), то подкоренное выражение $a$ может быть любым действительным числом.

Проанализируем каждое выражение на основе этих правил.

а) $\sqrt[6]{12}$;
Показатель корня $n=6$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=12$ — положительное число, что удовлетворяет условию $a \ge 0$. Следовательно, выражение имеет смысл. Найдем целую часть этого числа: $1^6 = 1$, а $2^6 = 64$. Поскольку $1 < 12 < 64$, то $1 < \sqrt[6]{12} < 2$.
Ответ: выражение имеет смысл, его целая часть равна 1.

б) $\sqrt[8]{-1}$;
Показатель корня $n=8$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=-1$ — отрицательное. Для корней четной степени подкоренное выражение не может быть отрицательным в области действительных чисел. Так как $-1 < 0$, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

в) $\sqrt[5]{6}$;
Показатель корня $n=5$ является нечетным числом. Для корней нечетной степени подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Следовательно, выражение имеет смысл. Найдем целую часть этого числа: $1^5 = 1$, а $2^5 = 32$. Поскольку $1 < 6 < 32$, то $1 < \sqrt[5]{6} < 2$.
Ответ: выражение имеет смысл, его целая часть равна 1.

г) $\sqrt[7]{-11}$;
Показатель корня $n=7$ является нечетным числом. Подкоренное выражение $a=-11$ является отрицательным, что допустимо для корней нечетной степени. Следовательно, выражение имеет смысл. Найдем целую часть этого числа: $(-1)^7 = -1$, а $(-2)^7 = -128$. Поскольку $-128 < -11 < -1$, то $-2 < \sqrt[7]{-11} < -1$.
Ответ: выражение имеет смысл, его целая часть равна -2.

д) $\sqrt[4]{0}$.
Показатель корня $n=4$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=0$, что удовлетворяет условию $a \ge 0$. Следовательно, выражение имеет смысл. Значение выражения равно $0$, так как $0^4 = 0$.
Ответ: выражение имеет смысл, его значение и целая часть равны 0.