Номер 2.29, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.29. Вычислите:

а) $\sqrt[3]{\frac{125}{216}}}$;

б) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}}$;

в) $\sqrt[3]{-15\frac{5}{8}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{125}{216}}$ воспользуемся свойством корня из дроби, которое гласит, что корень n-ой степени из дроби равен дроби из корней n-ой степени числителя и знаменателя: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
Применим это свойство:
$\sqrt[3]{\frac{125}{216}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}}$
Теперь найдем кубический корень из числителя и знаменателя:
$\sqrt[3]{125} = 5$, потому что $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
$\sqrt[3]{216} = 6$, потому что $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Таким образом, результат равен:
$\frac{5}{6}$.
Это правильная дробь, поэтому выделение целой части не требуется.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Чтобы вычислить $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$, сначала необходимо преобразовать смешанное число $7\frac{58}{81}$ в неправильную дробь.
$7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567 + 58}{81} = \frac{625}{81}$.
Теперь извлечем корень четвертой степени из полученной дроби:
$\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} = \sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$.
Найдем корень четвертой степени из числителя и знаменателя:
$\sqrt[4]{625} = 5$, потому что $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
$\sqrt[4]{81} = 3$, потому что $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
В результате получаем неправильную дробь $\frac{5}{3}$.
Выделим из нее целую часть:
$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: 1$\frac{2}{3}$.

в) Для вычисления $\sqrt[3]{-15\frac{5}{8}}$ сначала преобразуем отрицательное смешанное число в неправильную дробь.
$-15\frac{5}{8} = -\frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = -\frac{120 + 5}{8} = -\frac{125}{8}$.
Корень нечетной степени (в данном случае кубический) из отрицательного числа является отрицательным. Поэтому мы можем вынести знак минус за знак корня:
$\sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}$.
Найдем кубический корень из числителя и знаменателя:
$\sqrt[3]{125} = 5$, потому что $5^3 = 125$.
$\sqrt[3]{8} = 2$, потому что $2^3 = 8$.
В результате получаем неправильную дробь $-\frac{5}{2}$.
Выделим из нее целую часть:
$-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.
Ответ: -2$\frac{1}{2}$.