Номер 2.34, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.34. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt[6]{7})^6$;

б) $(\sqrt[3]{10})^3$;

в) $(-\sqrt[4]{5})^4$;

г) $(\sqrt[3]{-7})^3$;

д) $(2\sqrt[6]{3})^6$;

е) $(-\frac{1}{3}\sqrt[4]{6})^4$.

а) Для нахождения значения выражения $(\sqrt[6]{7})^6$ используется основное свойство корня n-ой степени, которое гласит, что $(\sqrt[n]{a})^n = a$ (при условии, что корень имеет смысл, в данном случае $a=7 \ge 0$).
Применяя это свойство, получаем:
$(\sqrt[6]{7})^6 = 7$
Ответ: 7.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
Для выражения $(\sqrt[3]{10})^3$ показатель корня и степень равны 3.
$(\sqrt[3]{10})^3 = 10$
Ответ: 10.

в) В выражении $(-\sqrt[4]{5})^4$ отрицательное число возводится в четную степень (4). Результат будет положительным.
$(-\sqrt[4]{5})^4 = (-1)^4 \cdot (\sqrt[4]{5})^4 = 1 \cdot (\sqrt[4]{5})^4 = (\sqrt[4]{5})^4$
Далее по свойству $(\sqrt[n]{a})^n = a$:
$(\sqrt[4]{5})^4 = 5$
Ответ: 5.

г) Для корней нечетной степени свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ выполняется для любых действительных чисел $a$.
В выражении $(\sqrt[3]{-7})^3$ показатель корня и степень равны 3 (нечетное число).
$(\sqrt[3]{-7})^3 = -7$
Ответ: -7.

д) Для вычисления значения выражения $(2\sqrt[6]{3})^6$ воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$.
$(2\sqrt[6]{3})^6 = 2^6 \cdot (\sqrt[6]{3})^6$
Вычисляем каждую часть отдельно:
$2^6 = 64$
$(\sqrt[6]{3})^6 = 3$
Перемножаем полученные значения:
$64 \cdot 3 = 192$
Ответ: 192.

е) Выражение $(-\frac{1}{3}\sqrt[4]{6})^4$ возводится в четную степень (4), поэтому знак минус пропадает.
$(-\frac{1}{3}\sqrt[4]{6})^4 = (\frac{1}{3}\sqrt[4]{6})^4$
Используем свойство возведения произведения в степень:
$(\frac{1}{3}\sqrt[4]{6})^4 = (\frac{1}{3})^4 \cdot (\sqrt[4]{6})^4$
Вычисляем каждую часть:
$(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$
$(\sqrt[4]{6})^4 = 6$
Перемножаем результаты:
$\frac{1}{81} \cdot 6 = \frac{6}{81}$
Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{6 \div 3}{81 \div 3} = \frac{2}{27}$
Ответ: $\frac{2}{27}$.