Номер 2.38, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.38. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2$;

б) $\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{10}$;

в) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{54}}$;

г) $\sqrt{24} : \sqrt{6} + \sqrt{\frac{7}{9}} \cdot \sqrt{7}$.

а) $(\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2$

Для решения этого выражения воспользуемся свойством квадратного корня, согласно которому $(\sqrt{a})^2 = a$, и свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.

1. Возводим в квадрат первый член: $(\sqrt{3})^2 = 3$.

2. Возводим в квадрат второй член: $(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

3. Выполняем вычитание: $3 - 50 = -47$.

Ответ: -47.

б) $\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{10}$

Используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

1. Объединяем выражения под одним корнем: $\sqrt{16,9 \cdot 10} = \sqrt{169}$.

2. Извлекаем квадратный корень: $\sqrt{169} = 13$, так как $13^2 = 169$.

Ответ: 13.

в) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{54}}$

Используем свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

1. Записываем выражение под одним корнем: $\sqrt{\frac{6}{54}}$.

2. Сокращаем дробь под корнем: $\frac{6}{54} = \frac{1}{9}$.

3. Извлекаем корень из полученной дроби: $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $\sqrt{24} : \sqrt{6} + \sqrt{\frac{7}{9}} \cdot \sqrt{7}$

Вычислим значение выражения по частям, соблюдая порядок действий (сначала деление и умножение, затем сложение).

1. Вычисляем частное: $\sqrt{24} : \sqrt{6} = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2$.

2. Вычисляем произведение: $\sqrt{\frac{7}{9}} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{\frac{7}{9} \cdot 7} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$.

3. Складываем полученные результаты: $2 + \frac{7}{3}$. Для сложения приводим 2 к дроби со знаменателем 3: $2 = \frac{6}{3}$.

$ \frac{6}{3} + \frac{7}{3} = \frac{6+7}{3} = \frac{13}{3}$.

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число (выделяем целую часть): $\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$.

Ответ: $4\frac{1}{3}$.