вопрос 1, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. При каких значениях $a$ и $b$ верно равенство $\sqrt[6]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}}$?

Для того чтобы данное равенство $\sqrt[6]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}}$ было верным, необходимо, чтобы обе его части были определены в области действительных чисел. Свойство корня из частного гласит, что корень из дроби равен частному корней, поэтому равенство будет верным для всех значений переменных, при которых оба выражения (левое и правое) имеют смысл.

Проанализируем область допустимых значений (ОДЗ) для каждой части равенства.

ОДЗ для левой части: $ \sqrt[6]{\frac{a}{b}} $

Поскольку показатель корня (6) является четным числом, выражение под корнем должно быть неотрицательным:$$ \frac{a}{b} \ge 0 $$Кроме того, знаменатель дроби не может равняться нулю:$$ b \neq 0 $$Неравенство $ \frac{a}{b} \ge 0 $ справедливо в двух случаях:

1. Переменные a и b неотрицательны (с учетом $ b \neq 0 $): $ a \ge 0 $ и $ b > 0 $.
2. Переменные a и b неположительны (с учетом $ b \neq 0 $): $ a \le 0 $ и $ b < 0 $.

ОДЗ для правой части: $ \frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}} $

Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.

Для числителя $ \sqrt[6]{a} $: так как показатель корня четный, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$$ a \ge 0 $$Для знаменателя $ \sqrt[6]{b} $: подкоренное выражение также должно быть неотрицательным ($ b \ge 0 $). Однако, поскольку $ \sqrt[6]{b} $ находится в знаменателе, он не может быть равен нулю, что означает $ b \neq 0 $. Объединяя эти два условия для знаменателя, получаем:$$ b > 0 $$Следовательно, для существования правой части равенства необходимо одновременное выполнение условий: $ a \ge 0 $ и $ b > 0 $.

Нахождение общих условий

Равенство будет верным только для тех значений a и b, которые удовлетворяют ОДЗ обеих частей. Найдем пересечение найденных множеств решений:

• ОДЗ левой части: ($ a \ge 0 $ и $ b > 0 $) или ($ a \le 0 $ и $ b < 0 $).
• ОДЗ правой части: $ a \ge 0 $ и $ b > 0 $.

Очевидно, что общим решением, удовлетворяющим условиям для обеих частей, является:$$ a \ge 0 \quad \text{и} \quad b > 0 $$

Ответ: Равенство верно при $ a \ge 0 $ и $ b > 0 $.