Номер 2.46, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.46. Найдите значение выражения с помощью свойства корня n-й сте-пени из частного:

a) $\sqrt[4]{\frac{81}{0,0625}}$;б) $\sqrt[3]{\frac{0,064}{1000}}$;В) $\sqrt[5]{\frac{3200000}{0,00243}}$;Г) $\sqrt[3]{\frac{0,343}{125}}$.

Для решения данных задач используется свойство корня n-й степени из частного: для неотрицательного $a$ и положительного $b$ справедливо равенство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

а) Найдем значение выражения $\sqrt[4]{\frac{81}{0,0625}}$.

Применим свойство корня из частного:

$\sqrt[4]{\frac{81}{0,0625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{0,0625}}$

Вычислим корень из числителя: $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Вычислим корень из знаменателя: $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{(0,5)^4} = 0,5$, так как $0,5^4 = 0,0625$.

Теперь найдем частное полученных значений:

$\frac{3}{0,5} = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6.

б) Найдем значение выражения $\sqrt[3]{\frac{0,064}{1000}}$.

Используем свойство корня из частного:

$\sqrt[3]{\frac{0,064}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{0,064}}{\sqrt[3]{1000}}$

Вычислим корень из числителя: $\sqrt[3]{0,064} = 0,4$, так как $0,4^3 = 0,064$.

Вычислим корень из знаменателя: $\sqrt[3]{1000} = 10$, так как $10^3 = 1000$.

Найдем частное:

$\frac{0,4}{10} = 0,04$.

Ответ: 0,04.

в) Найдем значение выражения $\sqrt[5]{\frac{3200000}{0,00243}}$.

Применим свойство корня из частного:

$\sqrt[5]{\frac{3200000}{0,00243}} = \frac{\sqrt[5]{3200000}}{\sqrt[5]{0,00243}}$

Вычислим корень из числителя: $\sqrt[5]{3200000} = \sqrt[5]{32 \cdot 10^5} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 10^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 10)^5} = 20$.

Вычислим корень из знаменателя: $\sqrt[5]{0,00243} = \sqrt[5]{\frac{243}{100000}} = \sqrt[5]{\frac{3^5}{10^5}} = \sqrt[5]{(\frac{3}{10})^5} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Найдем частное:

$\frac{20}{0,3} = \frac{20}{3/10} = 20 \cdot \frac{10}{3} = \frac{200}{3}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$\frac{200}{3} = 66\frac{2}{3}$.

Ответ: $66\frac{2}{3}$.

г) Найдем значение выражения $\sqrt[3]{\frac{0,343}{125}}$.

Снова воспользуемся свойством корня из частного:

$\sqrt[3]{\frac{0,343}{125}} = \frac{\sqrt[3]{0,343}}{\sqrt[3]{125}}$

Вычислим корень из числителя: $\sqrt[3]{0,343} = 0,7$, так как $0,7^3 = 0,343$.

Вычислим корень из знаменателя: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

Найдем частное:

$\frac{0,7}{5} = \frac{7/10}{5} = \frac{7}{50} = 0,14$.

Ответ: 0,14.