Номер 2.50, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.50. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[4]{\frac{0,0016 \cdot 256}{810000}}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{0,008}{27 \cdot 0,125}}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения, представим числа под корнем в виде степеней, чтобы было удобно извлекать корень четвертой степени.

1. Представим каждое число в виде основания в четвертой степени:

• $0,0016 = 16 \cdot 10^{-4} = 2^4 \cdot (10^{-1})^4 = (0,2)^4$
• $256 = 16^2 = (4^2)^2 = 4^4$
• $810000 = 81 \cdot 10000 = 3^4 \cdot 10^4 = (3 \cdot 10)^4 = 30^4$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \sqrt[4]{\frac{0,0016 \cdot 256}{810000}} = \sqrt[4]{\frac{(0,2)^4 \cdot 4^4}{30^4}} $

3. Используем свойство корня $ \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} $ и свойство $ \sqrt[n]{x^n} = x $ (для $x \ge 0$):

$ \sqrt[4]{\frac{(0,2)^4 \cdot 4^4}{30^4}} = \frac{\sqrt[4]{(0,2)^4} \cdot \sqrt[4]{4^4}}{\sqrt[4]{30^4}} = \frac{0,2 \cdot 4}{30} $

4. Вычислим и упростим полученную дробь:

$ \frac{0,2 \cdot 4}{30} = \frac{0,8}{30} = \frac{8}{300} = \frac{2}{75} $

Ответ: $ \frac{2}{75} $

б) Для нахождения значения выражения представим числа под корнем в виде степеней, чтобы было удобно извлекать корень третьей степени.

1. Представим каждое число в виде основания в третьей степени:

• $0,008 = 8 \cdot 10^{-3} = 2^3 \cdot (10^{-1})^3 = (0,2)^3$
• $27 = 3^3$
• $0,125 = 125 \cdot 10^{-3} = 5^3 \cdot (10^{-1})^3 = (0,5)^3$. Также можно представить как $0,125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \sqrt[3]{\frac{0,008}{27 \cdot 0,125}} = \sqrt[3]{\frac{(0,2)^3}{3^3 \cdot (0,5)^3}} $

3. Используем свойство корня $ \sqrt[n]{\frac{a}{b \cdot c}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c}} $ и свойство $ \sqrt[n]{x^n} = x $:

$ \sqrt[3]{\frac{(0,2)^3}{3^3 \cdot (0,5)^3}} = \frac{\sqrt[3]{(0,2)^3}}{\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{(0,5)^3}} = \frac{0,2}{3 \cdot 0,5} $

4. Вычислим и упростим полученное выражение:

$ \frac{0,2}{3 \cdot 0,5} = \frac{0,2}{1,5} = \frac{2}{15} $

Ответ: $ \frac{2}{15} $