Номер 2.53, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.53. Найдите значение выражения $ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{81}} $, используя свойства корня.

Для нахождения значения выражения $ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{81}} $ выполним вычисления по действиям, используя свойства корня.

1. Вычислим значение произведения $ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} $

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $:

$ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16} $

Поскольку $ 2^4 = 16 $, то значение корня равно 2.

Ответ: 2.

2. Вычислим значение дроби $ \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{81}} $

Используем свойство частного корней одинаковой степени $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $:

$ \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{81}} = \sqrt[3]{\frac{3}{81}} $

Сократим подкоренное выражение: $ \frac{3}{81} = \frac{1}{27} $.

Теперь извлечем корень: $ \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3. Найдем сумму полученных значений

Сложим результаты, полученные в первых двух действиях:

$ 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $

Получили неправильную дробь $ \frac{7}{3} $. Выделим из нее целую часть:

$ \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} $

Ответ: $ 2\frac{1}{3} $.