Номер 2.58, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.58. Представьте выражение $ \sqrt[3]{2} $ в виде корня:

а) шестой степени;

б) девятой степени;

в) двенадцатой степени;

г) восемнадцатой степени.

$ \sqrt[n]{a^p} = \sqrt[n \cdot k]{a^{p \cdot k}} $

Исходное выражение $ \sqrt[3]{2} $ можно записать как $ \sqrt[3]{2^1} $. Будем приводить его к требуемым степеням корня, умножая показатель корня (3) и показатель степени подкоренного выражения (1) на соответствующий множитель.

а) шестой степени;
Чтобы получить корень 6-й степени из корня 3-й степени, необходимо умножить показатели на 2, так как $6 = 3 \cdot 2$.$$ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4} $$Ответ: $ \sqrt[6]{4} $.

б) девятой степени;
Чтобы получить корень 9-й степени, необходимо умножить показатели на 3, так как $9 = 3 \cdot 3$.$$ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 3]{2^{1 \cdot 3}} = \sqrt[9]{2^3} = \sqrt[9]{8} $$Ответ: $ \sqrt[9]{8} $.

в) двенадцатой степени;
Чтобы получить корень 12-й степени, необходимо умножить показатели на 4, так как $12 = 3 \cdot 4$.$$ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 4]{2^{1 \cdot 4}} = \sqrt[12]{2^4} = \sqrt[12]{16} $$Ответ: $ \sqrt[12]{16} $.

г) восемнадцатой степени.
Чтобы получить корень 18-й степени, необходимо умножить показатели на 6, так как $18 = 3 \cdot 6$.$$ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 6]{2^{1 \cdot 6}} = \sqrt[18]{2^6} = \sqrt[18]{64} $$Ответ: $ \sqrt[18]{64} $.