Номер 2.61, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.61. Представьте выражение в виде корня с меньшим показателем:

а) $\sqrt[6]{2^4}$;

б) $\sqrt[15]{7^9}$;

в) $\sqrt[8]{3^4}$;

г) $\sqrt[24]{12^8}$;

д) $\sqrt[4]{25}$;

е) $\sqrt[6]{81}$;

ж) $\sqrt[6]{125}$;

з) $\sqrt[12]{27}$.

Для того чтобы представить выражение в виде корня с меньшим показателем, мы используем основное свойство корня. Это свойство можно записать в виде формулы: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a \ge 0$. Это означает, что показатель корня и показатель степени подкоренного выражения можно разделить на их общий положительный делитель.

Чтобы максимально уменьшить показатель корня, нужно разделить его и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель (НОД).

В некоторых случаях подкоренное число сначала нужно представить в виде степени.

а) Дано выражение $\sqrt[6]{2^4}$.

Показатель корня равен 6, а показатель степени подкоренного выражения равен 4. Найдем наибольший общий делитель для 6 и 4: НОД(6, 4) = 2. Разделим показатель корня и показатель степени на 2:

$\sqrt[6]{2^4} = \sqrt[6 \div 2]{2^{4 \div 2}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Показатель корня уменьшился с 6 до 3. Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

б) Дано выражение $\sqrt[15]{7^9}$.

Показатель корня - 15, показатель степени - 9. Найдем НОД(15, 9) = 3. Разделим оба показателя на 3:

$\sqrt[15]{7^9} = \sqrt[15 \div 3]{7^{9 \div 3}} = \sqrt[5]{7^3}$.

Вычислим $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Таким образом, $\sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{343}$.

Ответ: $\sqrt[5]{343}$.

в) Дано выражение $\sqrt[8]{3^4}$.

Показатель корня - 8, показатель степени - 4. Найдем НОД(8, 4) = 4. Разделим оба показателя на 4:

$\sqrt[8]{3^4} = \sqrt[8 \div 4]{3^{4 \div 4}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.

(Корень с показателем 2, то есть квадратный корень, принято записывать без показателя).

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Дано выражение $\sqrt[24]{12^8}$.

Показатель корня - 24, показатель степени - 8. Найдем НОД(24, 8) = 8. Разделим оба показателя на 8:

$\sqrt[24]{12^8} = \sqrt[24 \div 8]{12^{8 \div 8}} = \sqrt[3]{12^1} = \sqrt[3]{12}$.

Ответ: $\sqrt[3]{12}$.

д) Дано выражение $\sqrt[4]{25}$.

Сначала представим подкоренное выражение 25 в виде степени. $25 = 5^2$.

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt[4]{5^2}$.

Показатель корня - 4, показатель степени - 2. Найдем НОД(4, 2) = 2. Разделим оба показателя на 2:

$\sqrt[4]{5^2} = \sqrt[4 \div 2]{5^{2 \div 2}} = \sqrt[2]{5^1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

е) Дано выражение $\sqrt[6]{81}$.

Представим 81 в виде степени с основанием 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt[6]{3^4}$.

Показатель корня - 6, показатель степени - 4. Найдем НОД(6, 4) = 2. Разделим оба показателя на 2:

$\sqrt[6]{3^4} = \sqrt[6 \div 2]{3^{4 \div 2}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.

Ответ: $\sqrt[3]{9}$.

ж) Дано выражение $\sqrt[6]{125}$.

Представим 125 в виде степени: $125 = 5^3$.

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt[6]{5^3}$.

Показатель корня - 6, показатель степени - 3. Найдем НОД(6, 3) = 3. Разделим оба показателя на 3:

$\sqrt[6]{5^3} = \sqrt[6 \div 3]{5^{3 \div 3}} = \sqrt[2]{5^1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

з) Дано выражение $\sqrt[12]{27}$.

Представим 27 в виде степени: $27 = 3^3$.

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt[12]{3^3}$.

Показатель корня - 12, показатель степени - 3. Найдем НОД(12, 3) = 3. Разделим оба показателя на 3:

$\sqrt[12]{3^3} = \sqrt[12 \div 3]{3^{3 \div 3}} = \sqrt[4]{3^1} = \sqrt[4]{3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3}$.