Номер 2.67, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.67. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[4]{(-17)^4}$;

б) $\sqrt[5]{(-10)^5}$;

в) $\sqrt[6]{(-7)^6}$;

г) $\sqrt[7]{(-13)^7}$.

Для решения данных выражений необходимо использовать свойство арифметического корня n-ой степени $\sqrt[n]{a^n}$. Результат зависит от четности показателя корня n.

• Если показатель корня n — нечетное число ($n=3, 5, 7, \dots$), то для любого числа 'a' справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$.
• Если показатель корня n — четное число ($n=2, 4, 6, \dots$), то для любого числа 'a' справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, так как корень четной степени из неотрицательного числа по определению является неотрицательным числом.

а) $\sqrt[4]{(-17)^4}$

Показатель корня $n=4$ является четным числом. Следовательно, используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$.

$\sqrt[4]{(-17)^4} = |-17| = 17$.

Ответ: 17

б) $\sqrt[5]{(-10)^5}$

Показатель корня $n=5$ является нечетным числом. Следовательно, используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$.

$\sqrt[5]{(-10)^5} = -10$.

Ответ: -10

в) $\sqrt[6]{(-7)^6}$

Показатель корня $n=6$ является четным числом. Следовательно, используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$.

$\sqrt[6]{(-7)^6} = |-7| = 7$.

Ответ: 7

г) $\sqrt[7]{(-13)^7}$

Показатель корня $n=7$ является нечетным числом. Следовательно, используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$.

$\sqrt[7]{(-13)^7} = -13$.

Ответ: -13