Номер 2.70, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.70. Упростите выражение:

а) $\sqrt[4]{x^4} - x$, если $x \geq 0$;

б) $\sqrt[6]{x^6} - \sqrt[3]{x^3}$, если $x \leq 0$.

a) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{x^4} - x$ при условии $x \ge 0$ воспользуемся свойством арифметического корня четной степени.

Свойство корня четной степени гласит, что для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Применим это свойство к нашему выражению. Так как степень корня (4) является четной, получаем: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Теперь исходное выражение можно записать как: $|x| - x$.

Согласно условию задачи, $x \ge 0$. По определению модуля, если значение под модулем неотрицательно, то модуль этого значения равен самому значению, то есть $|x| = x$.

Подставим это в наше выражение: $x - x = 0$.

Ответ: 0

б) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{x^6} - \sqrt[3]{x^3}$ при условии $x \le 0$ рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

1. Первый член $\sqrt[6]{x^6}$. Степень корня (6) — четная. Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$: $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

2. Второй член $\sqrt[3]{x^3}$. Степень корня (3) — нечетная. Для корней нечетной степени свойство выглядит так: $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$. Следовательно, $\sqrt[3]{x^3} = x$.

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $|x| - x$.

Согласно условию задачи, $x \le 0$. По определению модуля, если значение под модулем неположительно, то модуль этого значения равен противоположному значению, то есть $|x| = -x$.

Подставим это в наше выражение: $(-x) - x = -2x$.

Ответ: -2x