Номер 2.63, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.63. Представьте в виде корня:

а) $ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{0,5}; $

б) $ \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{6}}; $

в) $ \frac{\sqrt[4]{50}}{\sqrt{5}}; $

г) $ \frac{\sqrt[10]{80}}{\sqrt[5]{4}}; $

д) $ \sqrt[8]{2} \cdot \sqrt[12]{3}; $

е) $ \sqrt[6]{5} : \sqrt[4]{2}. $

а) Чтобы представить произведение в виде одного корня, необходимо привести корни к общему показателю. Наименьший общий показатель для корней 4-й и 8-й степени — это 8. Для этого возведем подкоренное выражение первого множителя в степень, равную частному от деления нового показателя на старый ($8:4=2$).
$\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{0,5} = \sqrt[4 \cdot 2]{2^2} \cdot \sqrt[8]{0,5} = \sqrt[8]{4} \cdot \sqrt[8]{0,5} = \sqrt[8]{4 \cdot 0,5} = \sqrt[8]{2}$.
Ответ: $\sqrt[8]{2}$

б) Приведем корни к наименьшему общему показателю 6. Для этого показатель второго корня и степень подкоренного выражения умножим на 2 ($6:3=2$).
$\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{(\frac{1}{6})^2} = \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{36}} = \sqrt[6]{3 \cdot \frac{1}{36}} = \sqrt[6]{\frac{3}{36}} = \sqrt[6]{\frac{1}{12}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{\frac{1}{12}}$

в) Приведем корни в числителе и знаменателе к наименьшему общему показателю 4. Показатель корня в знаменателе равен 2.
$\frac{\sqrt[4]{50}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt[4]{50}}{\sqrt[2 \cdot 2]{5^2}} = \frac{\sqrt[4]{50}}{\sqrt[4]{25}} = \sqrt[4]{\frac{50}{25}} = \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2}$

г) Приведем корни к наименьшему общему показателю 10.
$\frac{\sqrt[10]{80}}{\sqrt[5]{4}} = \frac{\sqrt[10]{80}}{\sqrt[5 \cdot 2]{4^2}} = \frac{\sqrt[10]{80}}{\sqrt[10]{16}} = \sqrt[10]{\frac{80}{16}} = \sqrt[10]{5}$.
Ответ: $\sqrt[10]{5}$

д) Найдем наименьший общий показатель для корней 8-й и 12-й степени. НОК(8, 12) = 24. Приведем оба корня к этому показателю.
$\sqrt[8]{2} \cdot \sqrt[12]{3} = \sqrt[8 \cdot 3]{2^3} \cdot \sqrt[12 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[24]{8} \cdot \sqrt[24]{9} = \sqrt[24]{8 \cdot 9} = \sqrt[24]{72}$.
Ответ: $\sqrt[24]{72}$

е) Наименьший общий показатель для корней 6-й и 4-й степени — это 12. Приведем оба корня к этому показателю и выполним деление.
$\sqrt[6]{5} : \sqrt[4]{2} = \frac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[6 \cdot 2]{5^2}}{\sqrt[4 \cdot 3]{2^3}} = \frac{\sqrt[12]{25}}{\sqrt[12]{8}} = \sqrt[12]{\frac{25}{8}}$.
Так как под корнем находится неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $\frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}$.
Ответ: $\sqrt[12]{3\frac{1}{8}}$