Номер 2.68, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.68. Упростите выражение:

а) $\sqrt[4]{a^4}$, если $a \ge 0$;

б) $\sqrt[6]{b^6}$, если $b < 0$;

в) $\sqrt[4]{81m^4}$, если $m \ge 0$;

г) $\sqrt[8]{\frac{c^8}{256}}$, если $c < 0$;

д) $-3\sqrt[4]{16b^4}$, если $b < 0$;

е) $-2a\sqrt[4]{\frac{a^4}{625}}$, если $a \ge 0$.

Для решения всех пунктов задачи используется основное свойство арифметического корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, где $|x|$ - модуль числа $x$. Модуль раскрывается по определению:$|x| = x$, если $x \ge 0$$|x| = -x$, если $x < 0$

а) Упростим выражение $\sqrt[4]{a^4}$ при условии $a \ge 0$.

Используем свойство корня четвертой (четной) степени:

$\sqrt[4]{a^4} = |a|$

Так как по условию $a \ge 0$, то модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|a| = a$.

Следовательно, $\sqrt[4]{a^4} = a$.

Ответ: $a$

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{b^6}$ при условии $b < 0$.

Используем свойство корня шестой (четной) степени:

$\sqrt[6]{b^6} = |b|$

По условию, $b < 0$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|b| = -b$.

Следовательно, $\sqrt[6]{b^6} = -b$.

Ответ: $-b$

в) Упростим выражение $\sqrt[4]{81m^4}$ при условии $m \ge 0$.

Сначала представим подкоренное выражение в виде четвертой степени: $81m^4 = 3^4 \cdot m^4 = (3m)^4$.

Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt[4]{(3m)^4}$.

Используем свойство корня четной степени:

$\sqrt[4]{(3m)^4} = |3m|$

По условию, $m \ge 0$, значит и $3m \ge 0$. Модуль неотрицательного выражения равен самому этому выражению: $|3m| = 3m$.

Таким образом, $\sqrt[4]{81m^4} = 3m$.

Ответ: $3m$

г) Упростим выражение $\sqrt[8]{\frac{c^8}{256}}$ при условии $c < 0$.

Представим подкоренное выражение в виде восьмой степени, учитывая, что $256 = 2^8$:

$\sqrt[8]{\frac{c^8}{256}} = \sqrt[8]{\frac{c^8}{2^8}} = \sqrt[8]{(\frac{c}{2})^8}$

Применяем свойство корня восьмой (четной) степени:

$\sqrt[8]{(\frac{c}{2})^8} = |\frac{c}{2}|$

По условию, $c < 0$, следовательно, $\frac{c}{2}$ также меньше нуля. Модуль отрицательного выражения равен противоположному выражению: $|\frac{c}{2}| = -\frac{c}{2}$.

Ответ: $-\frac{c}{2}$

д) Упростим выражение $-3\sqrt[4]{16b^4}$ при условии $b < 0$.

Упростим выражение под корнем, представив его в виде четвертой степени: $16b^4 = 2^4 \cdot b^4 = (2b)^4$.

Исходное выражение примет вид: $-3\sqrt[4]{(2b)^4}$.

Вычислим значение корня: $\sqrt[4]{(2b)^4} = |2b|$.

По условию, $b < 0$, значит и $2b < 0$. Модуль отрицательного выражения равен противоположному выражению: $|2b| = -2b$.

Подставляем это в исходное выражение:

$-3 \cdot |2b| = -3 \cdot (-2b) = 6b$.

Ответ: $6b$

е) Упростим выражение $-2a\sqrt[4]{\frac{a^4}{625}}$ при условии $a \ge 0$.

Упростим выражение под корнем. Так как $625 = 5^4$, то $\frac{a^4}{625} = \frac{a^4}{5^4} = (\frac{a}{5})^4$.

Исходное выражение примет вид: $-2a\sqrt[4]{(\frac{a}{5})^4}$.

Применим свойство корня четной степени:

$\sqrt[4]{(\frac{a}{5})^4} = |\frac{a}{5}|$

По условию, $a \ge 0$, значит и $\frac{a}{5} \ge 0$. Модуль неотрицательного выражения равен самому выражению: $|\frac{a}{5}| = \frac{a}{5}$.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

$-2a \cdot |\frac{a}{5}| = -2a \cdot \frac{a}{5} = -\frac{2a^2}{5}$.

Ответ: $-\frac{2a^2}{5}$