Номер 2.73, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.73. Упростите выражение $\sqrt[4]{\frac{1}{81} a^4 b^{12}}$, если a и b:

а) числа одного знака;

б) числа разных знаков.

Для упрощения выражения воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, где $n$ - натуральное число.

Преобразуем подкоренное выражение, представив каждый множитель в виде четвертой степени:

$\sqrt[4]{\frac{1}{81}a^4b^{12}} = \sqrt[4]{(\frac{1}{3})^4 \cdot a^4 \cdot (b^3)^4} = \sqrt[4]{(\frac{1}{3}ab^3)^4}$

Так как показатель корня (4) является четным числом, при извлечении корня необходимо использовать модуль:

$\sqrt[4]{(\frac{1}{3}ab^3)^4} = |\frac{1}{3}ab^3| = \frac{1}{3}|ab^3|$

Теперь раскроем модуль в зависимости от условий, заданных в задаче. Знак выражения $ab^3$ зависит от знаков переменных a и b.

а) числа одного знака;
Если a и b имеют одинаковые знаки, то их произведение $ab$ всегда положительно ($ab > 0$). Знак $b^3$ совпадает со знаком b. Поэтому знак всего выражения $ab^3$ будет таким же, как знак произведения $ab$.

• Если $a > 0$ и $b > 0$, то $a > 0$ и $b^3 > 0$, следовательно, $ab^3 > 0$.
• Если $a < 0$ и $b < 0$, то $a < 0$ и $b^3 < 0$, следовательно, $ab^3 > 0$.

В обоих случаях выражение $\frac{1}{3}ab^3$ положительно, поэтому модуль раскрывается со знаком "+".
$|\frac{1}{3}ab^3| = \frac{1}{3}ab^3$
Ответ: $\frac{1}{3}ab^3$

б) числа разных знаков.
Если a и b имеют разные знаки, то их произведение $ab$ всегда отрицательно ($ab < 0$). Знак выражения $ab^3$ совпадает со знаком произведения $ab$.

• Если $a > 0$ и $b < 0$, то $a > 0$ и $b^3 < 0$, следовательно, $ab^3 < 0$.
• Если $a < 0$ и $b > 0$, то $a < 0$ и $b^3 > 0$, следовательно, $ab^3 < 0$.

В обоих случаях выражение $\frac{1}{3}ab^3$ отрицательно, поэтому модуль раскрывается со знаком "−".
$|\frac{1}{3}ab^3| = -(\frac{1}{3}ab^3) = -\frac{1}{3}ab^3$
Ответ: $-\frac{1}{3}ab^3$