Номер 2.78, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.78. Найдите значение выражения с помощью свойства корня n-й степени из частного:

а) $ \sqrt[4]{\frac{16}{0,0081}} $

б) $ \sqrt[3]{\frac{27\,000}{0,008}} $

в) $ \sqrt[5]{\frac{0,00001}{32}} $

г) $ \sqrt[4]{\frac{625}{0,0016}} $

Для решения задачи воспользуемся свойством корня n-й степени из частного: при $a \ge 0$ и $b > 0$ справедливо равенство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

а) Найдем значение выражения $\sqrt[4]{\frac{16}{0,0081}}$.

Применим свойство корня из частного:

$\sqrt[4]{\frac{16}{0,0081}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{0,0081}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

Для вычисления корня в знаменателе, представим десятичную дробь $0,0081$ в виде обыкновенной дроби $\frac{81}{10000}$.

$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}} = \frac{3}{10} = 0,3$, так как $3^4 = 81$ и $10^4 = 10000$.

Теперь разделим полученные значения:

$\frac{2}{0,3} = \frac{2}{\frac{3}{10}} = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть: $\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$.

Ответ: 6$\frac{2}{3}$.

б) Найдем значение выражения $\sqrt[3]{\frac{27000}{0,008}}$.

Применим свойство корня из частного:

$\sqrt[3]{\frac{27000}{0,008}} = \frac{\sqrt[3]{27000}}{\sqrt[3]{0,008}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt[3]{27000} = \sqrt[3]{27 \cdot 1000} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{1000} = 3 \cdot 10 = 30$.

Для вычисления корня в знаменателе, представим $0,008$ в виде дроби $\frac{8}{1000}$.

$\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Разделим результаты:

$\frac{30}{0,2} = \frac{30}{\frac{2}{10}} = 30 \cdot \frac{10}{2} = \frac{300}{2} = 150$.

Ответ: 150.

в) Найдем значение выражения $\sqrt[5]{\frac{0,00001}{32}}$.

Используем свойство корня из частного:

$\sqrt[5]{\frac{0,00001}{32}} = \frac{\sqrt[5]{0,00001}}{\sqrt[5]{32}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt[5]{0,00001} = \sqrt[5]{\frac{1}{100000}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{100000}} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Вычислим корень в знаменателе: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.

Разделим полученные значения:

$\frac{0,1}{2} = \frac{\frac{1}{10}}{2} = \frac{1}{10 \cdot 2} = \frac{1}{20} = 0,05$.

Результат является правильной дробью, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $0,05$.

г) Найдем значение выражения $\sqrt[4]{\frac{625}{0,0016}}$.

Применим свойство корня из частного:

$\sqrt[4]{\frac{625}{0,0016}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{0,0016}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

Для вычисления корня в знаменателе, представим $0,0016$ в виде дроби $\frac{16}{10000}$.

$\sqrt[4]{0,0016} = \sqrt[4]{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Разделим результаты:

$\frac{5}{0,2} = \frac{5}{\frac{2}{10}} = 5 \cdot \frac{10}{2} = \frac{50}{2} = 25$.

Ответ: 25.