Номер 2.85, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.85. Представьте выражение $\sqrt[4]{3}$ в виде корня:

а) восьмой степени;

б) двенадцатой степени;

в) шестнадцатой степени.

Для того чтобы представить корень одной степени в виде корня другой (более высокой) степени, используется основное свойство корня. Оно гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Математически это свойство выражается формулой: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$ (при $a \ge 0$).

В данном задании нам нужно преобразовать выражение $\sqrt[4]{3}$.

а) восьмой степени;

Требуется представить $\sqrt[4]{3}$ в виде корня восьмой степени. Новый показатель корня равен 8. Найдем множитель $k$, на который нужно умножить исходный показатель корня 4, чтобы получить 8:
$k = \frac{8}{4} = 2$.
Теперь, согласно свойству, умножим и показатель корня, и степень подкоренного выражения (которая по умолчанию равна 1) на 2:

$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[8]{9}$

Ответ: $\sqrt[8]{9}$

б) двенадцатой степени;

Требуется представить $\sqrt[4]{3}$ в виде корня двенадцатой степени. Новый показатель корня равен 12. Найдем множитель $k$:
$k = \frac{12}{4} = 3$.
Умножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 3:

$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[12]{27}$

Ответ: $\sqrt[12]{27}$

в) шестнадцатой степени.

Требуется представить $\sqrt[4]{3}$ в виде корня шестнадцатой степени. Новый показатель корня равен 16. Найдем множитель $k$:
$k = \frac{16}{4} = 4$.
Умножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 4:

$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[16]{81}$

Ответ: $\sqrt[16]{81}$