Номер 2.90, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.90. Упростите выражение:

а) $\sqrt[4]{\sqrt[4]{b}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{b}}$;

в) $\sqrt{\sqrt[7]{b^2}}$;

г) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^6}}$.

Для упрощения данных выражений мы воспользуемся свойством корня из корня, которое гласит, что при извлечении корня из корня их показатели перемножаются: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Также будем использовать представление корня в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, что позволяет упрощать выражения путем сокращения дроби в показателе.

а) Применяем свойство вложенных корней для выражения $\sqrt[4]{\sqrt[4]{b}}$. Показатели обоих корней равны 4. $$ \sqrt[4]{\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4 \cdot 4]{b} = \sqrt[16]{b} $$ Ответ: $\sqrt[16]{b}$.

б) Упрощаем выражение $\sqrt[3]{\sqrt{b}}$. Показатель внешнего корня равен 3, а внутреннего (квадратного) корня — 2. $$ \sqrt[3]{\sqrt{b}} = \sqrt[3 \cdot 2]{b} = \sqrt[6]{b} $$ Ответ: $\sqrt[6]{b}$.

в) Упрощаем выражение $\sqrt{\sqrt[7]{b^2}}$. Показатели корней равны 2 и 7. $$ \sqrt{\sqrt[7]{b^2}} = \sqrt[2 \cdot 7]{b^2} = \sqrt[14]{b^2} $$ Теперь упростим полученный корень. Для этого представим его в виде степени с дробным показателем и сократим дробь: $$ \sqrt[14]{b^2} = b^{\frac{2}{14}} = b^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{b} $$ Ответ: $\sqrt[7]{b}$.

г) Упрощаем выражение $\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^6}}$. Показатели корней равны 3 и 4. $$ \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^6}} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^6} = \sqrt[12]{b^6} $$ Представим результат в виде степени с дробным показателем и сократим его: $$ \sqrt[12]{b^6} = b^{\frac{6}{12}} = b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b} $$ Ответ: $\sqrt{b}$.