Номер 2.84, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.84. Найдите значение выражения на основании свойств корня n-й степени:

a) $ \sqrt[4]{175^2 - 168^2} $;

б) $ \sqrt[3]{7 - \sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{22}} $.

а) Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{175^2 - 168^2}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для подкоренного выражения.

$\sqrt[4]{175^2 - 168^2} = \sqrt[4]{(175 - 168)(175 + 168)}$

Вычислим значения в скобках:

$175 - 168 = 7$
$175 + 168 = 343$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\sqrt[4]{7 \cdot 343}$

Заметим, что $343 = 7^3$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$\sqrt[4]{7 \cdot 7^3} = \sqrt[4]{7^{1+3}} = \sqrt[4]{7^4}$

На основании свойства корня $n$-ой степени $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$), получаем:

$\sqrt[4]{7^4} = 7$

Ответ: 7.

б) Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{7 - \sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{22}}$ воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{7 - \sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{22}} = \sqrt[3]{(7 - \sqrt{22})(7 + \sqrt{22})}$

Теперь для подкоренного выражения применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{22}$.

$\sqrt[3]{7^2 - (\sqrt{22})^2} = \sqrt[3]{49 - 22}$

Выполним вычитание под корнем:

$\sqrt[3]{27}$

Так как $3^3 = 27$, то корень третьей степени из 27 равен 3.

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3.