Номер 2.89, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.89. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

a) $\sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[6]{36}$;

б) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[10]{4}$;

в) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[6]{5} \cdot \sqrt[12]{5}$;

г) $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$.

а) Преобразуем данное выражение, используя свойство корня $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ и свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$\sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[6]{36} = 36^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{6}} = 36^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 36^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 36^{\frac{3}{6}} = 36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
Результат 6 — целое число, следовательно, оно является рациональным.
Ответ: рациональное число 6.

б) Упростим выражение. Для этого представим подкоренные выражения в виде степеней с основанием 2, так как $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$.
$\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[10]{4} = \sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[10]{2^2} = 2^{\frac{4}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{10}} = 2^{\frac{4}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$.
Складываем показатели степеней:
$2^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}} = 2^{\frac{5}{5}} = 2^1 = 2$.
Результат 2 — целое число, а значит, рациональное.
Ответ: рациональное число 2.

в) Преобразуем выражение, представив корни в виде степеней с дробными показателями.
$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[6]{5} \cdot \sqrt[12]{5} = 5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{1}{12}}$.
Складываем показатели:
$5^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}} = 5^{\frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12}} = 5^{\frac{7}{12}} = \sqrt[12]{5^7}$.
Полученное число $\sqrt[12]{5^7}$ не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел, так как корень 12-й степени из $5^7$ не извлекается нацело. Следовательно, это иррациональное число.
Ответ: иррациональное число.

г) Упростим выражение, представив все подкоренные выражения как степени числа 3, учитывая, что $9 = 3^2$.
$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{3^2}}{3^{\frac{1}{6}}} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{1}{6}}}$.
Используем свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении — вычитаются.
$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6}} = 3^{\frac{6}{6}} = 3^1 = 3$.
Результат 3 — целое число, следовательно, рациональное.
Ответ: рациональное число 3.