Номер 2.95, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.95. Упростите выражение $\sqrt[4]{625c^4} - \sqrt[5]{32c^5} + \sqrt{36c^2}$ и найдите его значение при $c = -\frac{1}{13}$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два шага: сначала упростить исходное выражение, а затем подставить в него конкретное значение переменной $c$.

Разберем и упростим каждый член выражения по отдельности:

• Первый член: $\sqrt[4]{625c^4}$.

  Представим числа под корнем в виде степеней: $625 = 5^4$. Выражение примет вид $\sqrt[4]{5^4c^4} = \sqrt[4]{(5c)^4}$.

  Согласно свойству корня четной степени ($\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$), получаем: $\sqrt[4]{(5c)^4} = |5c| = 5|c|$.

• Второй член: $-\sqrt[5]{32c^5}$.

  Представим число под корнем в виде степени: $32 = 2^5$. Выражение примет вид $-\sqrt[5]{2^5c^5} = -\sqrt[5]{(2c)^5}$.

  Согласно свойству корня нечетной степени ($\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$), получаем: $-\sqrt[5]{(2c)^5} = -2c$.

• Третий член: $\sqrt{36c^2}$.

  Представим число под корнем в виде степени: $36 = 6^2$. Выражение примет вид $\sqrt{6^2c^2} = \sqrt{(6c)^2}$.

  Квадратный корень является корнем четной степени (показатель 2), поэтому, как и в первом случае, $\sqrt{(6c)^2} = |6c| = 6|c|$.

Теперь объединим упрощенные члены в одно выражение:

$5|c| - 2c + 6|c|$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(5|c| + 6|c|) - 2c = 11|c| - 2c$

Ответ: Упрощенное выражение имеет вид $11|c| - 2c$.

Подставим значение $c = -\frac{1}{13}$ в полученное упрощенное выражение $11|c| - 2c$.

Сначала найдем значение модуля $|c|$:

$|c| = |-\frac{1}{13}| = \frac{1}{13}$

Теперь выполним подстановку и произведем вычисления:

$11 \cdot \left(\frac{1}{13}\right) - 2 \cdot \left(-\frac{1}{13}\right) = \frac{11}{13} - \left(-\frac{2}{13}\right) = \frac{11}{13} + \frac{2}{13} = \frac{11+2}{13} = \frac{13}{13} = 1$

Ответ: 1.