Номер 2.98, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.98*. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $\sqrt[4]{(a-4)^4}$ при $a > 4;$

б) $\sqrt[6]{(b+2)^6}$ при $b < -2;$

в) $\sqrt[8]{(3b+10.2)^8} - 10.2$ при $-3 \le b \le 3.$

Для решения данной задачи мы будем использовать основное свойство арифметического корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Это свойство означает, что результат извлечения корня четной степени из выражения, возведенного в ту же степень, равен модулю этого выражения.

а) Представьте в виде многочлена выражение $\sqrt[4]{(a-4)^4}$ при $a > 4$.

Применяя свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$ для $n=2$, получаем:

$\sqrt[4]{(a-4)^4} = |a-4|$

По условию задачи $a > 4$. Это означает, что разность $a-4$ всегда будет положительной. Например, если $a=5$, то $5-4=1 > 0$.

Поскольку выражение под знаком модуля положительно ($a-4 > 0$), модуль раскрывается со знаком "плюс":

$|a-4| = a-4$

Ответ: $a-4$

б) Представьте в виде многочлена выражение $\sqrt[6]{(b+2)^6}$ при $b < -2$.

Используем то же свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$ для $n=3$:

$\sqrt[6]{(b+2)^6} = |b+2|$

По условию задачи $b < -2$. Это означает, что сумма $b+2$ всегда будет отрицательной. Например, если $b=-3$, то $-3+2=-1 < 0$.

Поскольку выражение под знаком модуля отрицательно ($b+2 < 0$), модуль раскрывается со знаком "минус" (то есть, равен противоположному выражению):

$|b+2| = -(b+2) = -b-2$

Ответ: $-b-2$

в) Представьте в виде многочлена выражение $\sqrt[8]{(3b+10,2)^8} - 10,2$ при $-3 \le b \le 3$.

Сначала упростим часть выражения с корнем, используя свойство $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$ для $n=4$:

$\sqrt[8]{(3b+10,2)^8} = |3b+10,2|$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$|3b+10,2| - 10,2$

Чтобы раскрыть модуль, нам нужно определить знак выражения $3b+10,2$ на отрезке $[-3; 3]$. Для этого проверим значения на концах отрезка:

• При $b = -3$: $3 \cdot (-3) + 10,2 = -9 + 10,2 = 1,2$
• При $b = 3$: $3 \cdot 3 + 10,2 = 9 + 10,2 = 19,2$

Функция $y = 3b+10,2$ — линейная и возрастающая. Поскольку на обоих концах отрезка ее значения положительны, она будет положительна и для любого значения $b$ из этого отрезка. Итак, $3b+10,2 > 0$ при $-3 \le b \le 3$.

Так как выражение под модулем положительно, модуль раскрывается со знаком "плюс":

$|3b+10,2| = 3b+10,2$

Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание:

$(3b+10,2) - 10,2 = 3b + 10,2 - 10,2 = 3b$

Ответ: $3b$