Номер 2.97, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.97. Упростите выражение $\sqrt[4]{\frac{16}{81}m^8n^{20}}$, если:

a) $n \ge 0$;

б) $n < 0$.

Объясните, почему знак значения данного выражения не зависит от знака переменной $m$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами корней: $\sqrt[k]{ab} = \sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$) и $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.

Исходное выражение: $\sqrt[4]{\frac{16}{81}m^8n^{20}}$.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, возведенных в четвертую степень:

$\frac{16}{81}m^8n^{20} = \frac{2^4}{3^4} \cdot (m^2)^4 \cdot (n^5)^4 = (\frac{2}{3})^4 \cdot (m^2)^4 \cdot (n^5)^4$

Теперь извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{(\frac{2}{3})^4 \cdot (m^2)^4 \cdot (n^5)^4} = |\frac{2}{3}| \cdot |m^2| \cdot |n^5|$

Раскроем модули:

• $|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$
• $|m^2| = m^2$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
• $|n^5|$ зависит от знака переменной $n$.

Таким образом, общее упрощенное выражение имеет вид: $\frac{2}{3}m^2|n^5|$.

Рассмотрим два случая, заданных в условии:

a) Если $n \ge 0$, то $n^5$ также будет неотрицательным ($n^5 \ge 0$). Следовательно, $|n^5| = n^5$. Подставляем в общее выражение: $\frac{2}{3}m^2n^5$.
Ответ: $\frac{2}{3}m^2n^5$.

б) Если $n < 0$, то $n^5$ будет отрицательным ($n^5 < 0$). Следовательно, по определению модуля, $|n^5| = -n^5$. Подставляем в общее выражение: $\frac{2}{3}m^2(-n^5) = -\frac{2}{3}m^2n^5$.
Ответ: $-\frac{2}{3}m^2n^5$.

Объясните, почему знак значения данного выражения не зависит от знака переменной m.

Знак значения данного выражения не зависит от знака переменной $m$, потому что $m$ входит в выражение под знаком корня в четной степени ($m^8$). При извлечении корня четной степени (в данном случае, 4-й) из переменной, возведенной в четную степень, получается выражение, содержащее модуль этой переменной, возведенной в степень, равную частному от деления степеней:

$\sqrt[4]{m^8} = \sqrt[4]{(m^2)^4} = |m^2|$

Так как квадрат любого действительного числа $m$ (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом ($m^2 \ge 0$), то модуль от $m^2$ равен самому $m^2$:

$|m^2| = m^2$

В результате упрощения переменная $m$ оказывается в выражении только в виде $m^2$. Значение $m^2$ всегда положительно при $m \neq 0$ и равно нулю при $m = 0$, но оно никогда не бывает отрицательным. Таким образом, знак переменной $m$ не влияет на знак множителя $m^2$, а следовательно, и на знак всего выражения. Знак выражения зависит только от знака переменной $n$.