Номер 2.96, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.96. Упростите выражение:

а) $\sqrt[6]{a^{18}}$, если $a \ge 0$;

б) $\sqrt[3]{27m^6}$;

в) $\sqrt[6]{64a^{12}};

г) $\sqrt[4]{\frac{a^{48}}{16}};

д) $-2\sqrt[4]{81b^{12}}$, если $b < 0$;

е) $-8n\sqrt[8]{\frac{n^{24}}{256}}$, если $n \ge 0$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{a^{18}}$ при условии $a \ge 0$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[2k]{x^{2k \cdot m}} = |x^m|$.
$\sqrt[6]{a^{18}} = \sqrt[6]{(a^3)^6} = |a^3|.$
Поскольку по условию $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$, и следовательно, $|a^3| = a^3$.
Другой способ — использование свойства степеней: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[6]{a^{18}} = a^{\frac{18}{6}} = a^3.$
Ответ: $a^3$.

б) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{27m^6}$ представим подкоренное выражение в виде кубов, используя свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$.
$\sqrt[3]{27m^6} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{m^6} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{(m^2)^3}.$
Так как корень нечетной степени ($\sqrt[2k+1]{x^{2k+1}} = x$), получаем:
$3 \cdot m^2 = 3m^2.$
Ответ: $3m^2$.

в) Упростим выражение $\sqrt[6]{64a^{12}}$. Представим подкоренное выражение в виде шестых степеней.
$64 = 2^6$ и $a^{12} = (a^2)^6$.
$\sqrt[6]{64a^{12}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot (a^2)^6} = \sqrt[6]{(2a^2)^6}.$
Используем свойство $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$.
$\sqrt[6]{(2a^2)^6} = |2a^2|.$
Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), поэтому $2a^2 \ge 0$. Следовательно, $|2a^2| = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

г) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{\frac{a^{48}}{16}}$ воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.
$\sqrt[4]{\frac{a^{48}}{16}} = \frac{\sqrt[4]{a^{48}}}{\sqrt[4]{16}}.$
Вычислим корни из числителя и знаменателя отдельно.
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2.$
$\sqrt[4]{a^{48}} = \sqrt[4]{(a^{12})^4} = |a^{12}|.$
Поскольку степень 12 четная, $a^{12} \ge 0$ для любого $a$. Значит, $|a^{12}| = a^{12}$.
Собираем выражение: $\frac{a^{12}}{2}$.
Ответ: $\frac{a^{12}}{2}$.

д) Упростим выражение $-2\sqrt[4]{81b^{12}}$ при условии $b < 0$.
Сначала упростим корень: $\sqrt[4]{81b^{12}}$.
$81 = 3^4$ и $b^{12} = (b^3)^4$.
$\sqrt[4]{81b^{12}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (b^3)^4} = \sqrt[4]{(3b^3)^4} = |3b^3| = 3|b^3|.$
По условию $b < 0$. Так как степень 3 нечетная, то $b^3$ также будет отрицательным ($b^3 < 0$).
Следовательно, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу: $|b^3| = -b^3$.
Тогда $\sqrt[4]{81b^{12}} = 3(-b^3) = -3b^3$.
Теперь умножим результат на коэффициент $-2$:
$-2 \cdot (-3b^3) = 6b^3.$
Ответ: $6b^3$.

е) Упростим выражение $-8n\sqrt[8]{\frac{n^{24}}{256}}$ при условии $n \ge 0$.
Сначала упростим корень: $\sqrt[8]{\frac{n^{24}}{256}} = \frac{\sqrt[8]{n^{24}}}{\sqrt[8]{256}}$.
$\sqrt[8]{256} = \sqrt[8]{2^8} = 2.$
$\sqrt[8]{n^{24}} = \sqrt[8]{(n^3)^8} = |n^3|.$
По условию $n \ge 0$, значит $n^3 \ge 0$. Следовательно, $|n^3| = n^3$.
Корень равен $\frac{n^3}{2}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$-8n \cdot \frac{n^3}{2} = -\frac{8n \cdot n^3}{2} = -4n^{1+3} = -4n^4.$
Ответ: $-4n^4$.