Номер 2.103, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.103. Сократите дробь $\frac{5a + 2 + 5ab + 2b}{2b - 2 + 5ab - 5a}$.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

Исходная дробь:

$$ \frac{5a + 2 + 5ab + 2b}{2b - 2 + 5ab - 5a} $$

1. Разложение числителя на множители.

Сгруппируем слагаемые в числителе $5a + 2 + 5ab + 2b$ методом группировки и вынесем общие множители:

$$ (5a + 5ab) + (2 + 2b) = 5a(1 + b) + 2(1 + b) = (5a + 2)(1 + b) $$

2. Разложение знаменателя на множители.

Сгруппируем слагаемые в знаменателе $2b - 2 + 5ab - 5a$. Для удобства сначала поменяем слагаемые местами:

$$ (5ab - 5a) + (2b - 2) = 5a(b - 1) + 2(b - 1) = (5a + 2)(b - 1) $$

3. Сокращение дроби.

Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь:

$$ \frac{(5a + 2)(1 + b)}{(5a + 2)(b - 1)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(5a + 2)$, при условии, что он не равен нулю ($5a + 2 \neq 0$) и знаменатель исходной дроби также не равен нулю ($b-1 \neq 0$).

В результате сокращения получаем:

$$ \frac{1 + b}{b - 1} $$

4. Выделение целой части.

Полученная дробь $\frac{b+1}{b-1}$ является алгебраической неправильной дробью, так как степень многочлена в числителе (1) равна степени многочлена в знаменателе (1). Выделим из неё целую часть, представив числитель в виде суммы, одно из слагаемых которой равно знаменателю:

$$ \frac{b + 1}{b - 1} = \frac{(b - 1) + 2}{b - 1} = \frac{b - 1}{b - 1} + \frac{2}{b - 1} = 1 + \frac{2}{b - 1} $$

2.103. Сократите дробь Ответ: $1 + \frac{2}{b - 1}$