Номер 2.109, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.109. Пользуясь алгоритмом, вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt[3]{16}$;

б) $\sqrt[3]{500}$;

в) $\sqrt[4]{80}$;

г) $\sqrt[4]{810}$;

д) $\sqrt[4]{162}$;

е) $\sqrt[5]{486}$;

ж) $\sqrt[5]{700000}$;

з) $\sqrt[7]{256}$.

а) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt[3]{16}$, разложим подкоренное число на простые множители и воспользуемся свойствами степеней.
1. Разложение на множители: $16 = 2^4$.
2. Представление корня в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{4/3}$.
3. Показатель степени $\frac{4}{3}$ является неправильной дробью. Выделим из неё целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
4. Преобразуем выражение: $2^{4/3} = 2^{1 + 1/3} = 2^1 \cdot 2^{1/3} = 2\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{2}$

б) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[3]{500}$.
1. Разложение на множители: $500 = 5 \cdot 100 = 5 \cdot 10^2 = 5 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^3$.
2. Представим корень в виде степеней: $\sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{2^2 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{5^3} = 2^{2/3} \cdot 5^{3/3}$.
3. Показатель $2/3$ — правильная дробь (множитель остается под корнем), а $3/3 = 1$ — целое число (множитель выносится).
4. Результат: $5^1 \cdot 2^{2/3} = 5\sqrt[3]{2^2} = 5\sqrt[3]{4}$.
Ответ: $5\sqrt[3]{4}$

в) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[4]{80}$.
1. Разложение на множители: $80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5^1$.
2. Представим корень в виде степеней: $\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5^1} = 2^{4/4} \cdot 5^{1/4} = 2^1 \cdot 5^{1/4}$.
3. Множитель $2^1$ выносится за знак корня.
4. Результат: $2\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{5}$

г) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[4]{810}$.
1. Разложение на множители: $810 = 81 \cdot 10 = 3^4 \cdot 10^1$.
2. Представим корень в виде степеней: $\sqrt[4]{810} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 10^1} = 3^{4/4} \cdot 10^{1/4} = 3^1 \cdot 10^{1/4}$.
3. Множитель $3^1$ выносится за знак корня.
4. Результат: $3\sqrt[4]{10}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{10}$

д) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[4]{162}$.
1. Разложение на множители: $162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2^1$.
2. Представим корень в виде степеней: $\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2^1} = 3^{4/4} \cdot 2^{1/4} = 3^1 \cdot 2^{1/4}$.
3. Множитель $3^1$ выносится за знак корня.
4. Результат: $3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$

е) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[5]{486}$.
1. Разложение на множители: $486 = 243 \cdot 2 = 3^5 \cdot 2^1$.
2. Представим корень в виде степеней: $\sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 2^1} = 3^{5/5} \cdot 2^{1/5} = 3^1 \cdot 2^{1/5}$.
3. Множитель $3^1$ выносится за знак корня.
4. Результат: $3\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[5]{2}$

ж) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[5]{700000}$.
1. Разложение на множители: $700000 = 7 \cdot 100000 = 7 \cdot 10^5$.
2. Представим корень в виде степеней: $\sqrt[5]{700000} = \sqrt[5]{7^1 \cdot 10^5} = 7^{1/5} \cdot 10^{5/5} = 7^{1/5} \cdot 10^1$.
3. Множитель $10^1$ выносится за знак корня.
4. Результат: $10\sqrt[5]{7}$.
Ответ: $10\sqrt[5]{7}$

з) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[7]{256}$.
1. Разложение на множители: $256 = 2^8$.
2. Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[7]{256} = \sqrt[7]{2^8} = 2^{8/7}$.
3. Показатель степени $\frac{8}{7}$ является неправильной дробью. Выделим из неё целую часть: $\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$.
4. Преобразуем выражение: $2^{8/7} = 2^{1 + 1/7} = 2^1 \cdot 2^{1/7} = 2\sqrt[7]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[7]{2}$