Номер 2.115, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.115. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt[4]{625m^4n}$, если $m < 0$;

б) $\sqrt[4]{162x^{12}y^5}$, если $x \le 0$;

в) $\sqrt[6]{128a^{12}b^6}$, если $a > 0, b < 0$;

г) $\sqrt[6]{1\,000\,000c^7d^{13}}$, если $c < 0, d < 0$.

Для решения задачи воспользуемся свойством корня $\sqrt[k]{a^k} = |a|$, если $k$ — четное число, и правилом вынесения множителя из-под знака корня. Чтобы вынести множитель $x^n$ из-под корня степени $k$, нужно показатель степени $n$ разделить на степень корня $k$. Целая часть от деления будет показателем степени множителя за знаком корня, а остаток — показателем степени множителя, который останется под знаком корня.

а) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{625m^4n}$ при условии $m < 0$. Степень корня $k=4$ — четная.

1. Разложим подкоренное выражение на множители:

• Числовой множитель: $625 = 5^4$.
• Переменная $m$: $m^4$ уже является четвертой степенью.
• Переменная $n$: остается под корнем, так как ее степень равна 1.

2. Перепишем выражение и вынесем множители:

$\sqrt[4]{625m^4n} = \sqrt[4]{5^4 \cdot m^4 \cdot n} = \sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{n}$

3. Применим правило $\sqrt[4]{a^4} = |a|$:

• $\sqrt[4]{5^4} = |5| = 5$
• $\sqrt[4]{m^4} = |m|$

4. Учтем условие $m < 0$. По определению модуля, если $m < 0$, то $|m| = -m$.

5. Объединим результаты:

$5 \cdot (-m) \cdot \sqrt[4]{n} = -5m\sqrt[4]{n}$

Для того чтобы исходное выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $625m^4n \ge 0$. Так как $625 > 0$ и $m^4 \ge 0$, это означает, что $n \ge 0$.

Ответ: $-5m\sqrt[4]{n}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{162x^{12}y^5}$ при условии $x \le 0$. Степень корня $k=4$ — четная.

1. Разложим подкоренное выражение на множители:

• Числовой множитель: $162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.
• Переменная $x$: показатель $12$ делится на $4$ без остатка ($12 = 4 \cdot 3 + 0$). Таким образом, $x^{12} = (x^3)^4$.
• Переменная $y$: показатель $5$ при делении на $4$ дает целую часть $1$ и остаток $1$ ($5 = 4 \cdot 1 + 1$). Таким образом, $y^5 = y^4 \cdot y$.

2. Перепишем выражение и вынесем множители:

$\sqrt[4]{162x^{12}y^5} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2 \cdot (x^3)^4 \cdot y^4 \cdot y} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(x^3)^4} \cdot \sqrt[4]{y^4} \cdot \sqrt[4]{2y}$

3. Применим правило $\sqrt[4]{a^4} = |a|$:

• $\sqrt[4]{3^4} = |3| = 3$
• $\sqrt[4]{(x^3)^4} = |x^3|$
• $\sqrt[4]{y^4} = |y|$

4. Учтем условия. По условию $x \le 0$, значит $x^3 \le 0$, и поэтому $|x^3| = -x^3$. Для существования корня необходимо, чтобы $162x^{12}y^5 \ge 0$. Так как $162 > 0$ и $x^{12} \ge 0$, то $y^5 \ge 0$, что означает $y \ge 0$. Следовательно, $|y| = y$.

5. Объединим результаты:

$3 \cdot (-x^3) \cdot y \cdot \sqrt[4]{2y} = -3x^3y\sqrt[4]{2y}$

Ответ: $-3x^3y\sqrt[4]{2y}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{128a^{12}b^6}$ при условии $a > 0, b < 0$. Степень корня $k=6$ — четная.

1. Разложим подкоренное выражение на множители:

• Числовой множитель: $128 = 64 \cdot 2 = 2^6 \cdot 2$. Показатель $7$ при делении на $6$ дает целую часть $1$ и остаток $1$.
• Переменная $a$: показатель $12$ делится на $6$ без остатка ($12 = 6 \cdot 2 + 0$). Таким образом, $a^{12} = (a^2)^6$.
• Переменная $b$: $b^6$ уже является шестой степенью.

2. Перепишем выражение и вынесем множители:

$\sqrt[6]{128a^{12}b^6} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 2 \cdot (a^2)^6 \cdot b^6} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{b^6} \cdot \sqrt[6]{2}$

3. Применим правило $\sqrt[6]{x^6} = |x|$:

• $\sqrt[6]{2^6} = |2| = 2$
• $\sqrt[6]{(a^2)^6} = |a^2|$
• $\sqrt[6]{b^6} = |b|$

4. Учтем условия. По условию $a > 0$, значит $a^2 > 0$, и $|a^2| = a^2$. По условию $b < 0$, значит $|b| = -b$.

5. Объединим результаты:

$2 \cdot a^2 \cdot (-b) \cdot \sqrt[6]{2} = -2a^2b\sqrt[6]{2}$

Ответ: $-2a^2b\sqrt[6]{2}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{1000000c^7d^{13}}$ при условии $c < 0, d < 0$. Степень корня $k=6$ — четная.

1. Разложим подкоренное выражение на множители:

• Числовой множитель: $1000000 = 10^6$.
• Переменная $c$: показатель $7$ при делении на $6$ дает целую часть $1$ и остаток $1$ ($7 = 6 \cdot 1 + 1$). Таким образом, $c^7 = c^6 \cdot c$.
• Переменная $d$: показатель $13$ при делении на $6$ дает целую часть $2$ и остаток $1$ ($13 = 6 \cdot 2 + 1$). Таким образом, $d^{13} = d^{12} \cdot d = (d^2)^6 \cdot d$.

2. Перепишем выражение и вынесем множители:

$\sqrt[6]{1000000c^7d^{13}} = \sqrt[6]{10^6 \cdot c^6 \cdot c \cdot (d^2)^6 \cdot d} = \sqrt[6]{10^6} \cdot \sqrt[6]{c^6} \cdot \sqrt[6]{(d^2)^6} \cdot \sqrt[6]{cd}$

3. Применим правило $\sqrt[6]{x^6} = |x|$:

• $\sqrt[6]{10^6} = |10| = 10$
• $\sqrt[6]{c^6} = |c|$
• $\sqrt[6]{(d^2)^6} = |d^2|$

4. Учтем условия. По условию $c < 0$, значит $|c| = -c$. По условию $d < 0$, значит $d^2 > 0$, и $|d^2| = d^2$. Проверим знак выражения под корнем: $cd$. Так как $c < 0$ и $d < 0$, их произведение $cd > 0$, поэтому выражение $\sqrt[6]{cd}$ определено.

5. Объединим результаты:

$10 \cdot (-c) \cdot d^2 \cdot \sqrt[6]{cd} = -10cd^2\sqrt[6]{cd}$

Ответ: $-10cd^2\sqrt[6]{cd}$