Номер 2.122, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.122. Упростите выражение:

a) $2\sqrt[3]{3} + 7\sqrt[3]{3};$

б) $4\sqrt[5]{2} - 9\sqrt[5]{2};$

в) $6\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{3};$

г) $3\sqrt[6]{7} - 6\sqrt[6]{7};$

д) $7\sqrt[3]{6} - 2\sqrt[3]{6} - 4\sqrt[3]{6};$

е) $5\sqrt[8]{10} + 3\sqrt[8]{10} - 8\sqrt[8]{10}.$

а) $2\sqrt[3]{3} + 7\sqrt[3]{3}$

Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Оба слагаемых содержат одинаковый радикал $\sqrt[3]{3}$, поэтому они являются подобными. Для упрощения выражения необходимо сложить их коэффициенты (числа, стоящие перед радикалами), а сам радикал оставить без изменений. Это похоже на сложение подобных членов, например, $2x + 7x = 9x$.

Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{3}$ за скобки:

$2\sqrt[3]{3} + 7\sqrt[3]{3} = (2 + 7)\sqrt[3]{3}$

Теперь выполним сложение в скобках:

$2 + 7 = 9$

В результате получаем упрощенное выражение:

$(2 + 7)\sqrt[3]{3} = 9\sqrt[3]{3}$

Ответ: $9\sqrt[3]{3}$.

б) $4\sqrt[5]{2} - 9\sqrt[5]{2}$

В этом выражении оба члена содержат одинаковый радикал $\sqrt[5]{2}$. Следовательно, мы можем упростить выражение, выполнив вычитание их коэффициентов.

Вынесем общий множитель $\sqrt[5]{2}$ за скобки:

$4\sqrt[5]{2} - 9\sqrt[5]{2} = (4 - 9)\sqrt[5]{2}$

Выполним вычитание в скобках:

$4 - 9 = -5$

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$(4 - 9)\sqrt[5]{2} = -5\sqrt[5]{2}$

Ответ: $-5\sqrt[5]{2}$.

в) $6\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{3}$

Здесь мы складываем два слагаемых с одинаковым радикалом $\sqrt[4]{3}$. Важно помнить, что если перед радикалом нет числа, его коэффициент равен 1. То есть, $\sqrt[4]{3}$ это то же самое, что и $1 \cdot \sqrt[4]{3}$.

Представим выражение в виде:

$6\sqrt[4]{3} + 1\sqrt[4]{3}$

Теперь вынесем общий множитель $\sqrt[4]{3}$ за скобки и сложим коэффициенты:

$(6 + 1)\sqrt[4]{3} = 7\sqrt[4]{3}$

Ответ: $7\sqrt[4]{3}$.

г) $3\sqrt[6]{7} - 6\sqrt[6]{7}$

Оба члена выражения имеют одинаковую часть с радикалом $\sqrt[6]{7}$. Упрощаем выражение путем вычитания коэффициентов.

Выносим $\sqrt[6]{7}$ за скобки:

$3\sqrt[6]{7} - 6\sqrt[6]{7} = (3 - 6)\sqrt[6]{7}$

Вычисляем разность в скобках:

$3 - 6 = -3$

Получаем ответ:

$(3 - 6)\sqrt[6]{7} = -3\sqrt[6]{7}$

Ответ: $-3\sqrt[6]{7}$.

д) $7\sqrt[3]{6} - 2\sqrt[3]{6} - 4\sqrt[3]{6}$

В этом выражении все три члена являются подобными, так как содержат один и тот же радикал $\sqrt[3]{6}$. Для упрощения нужно объединить все коэффициенты.

Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{6}$ за скобки:

$7\sqrt[3]{6} - 2\sqrt[3]{6} - 4\sqrt[3]{6} = (7 - 2 - 4)\sqrt[3]{6}$

Теперь выполним действия с числами в скобках:

$7 - 2 = 5$

$5 - 4 = 1$

Таким образом, коэффициент при радикале равен 1.

$(7 - 2 - 4)\sqrt[3]{6} = 1 \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{6}$

Ответ: $\sqrt[3]{6}$.

е) $5\sqrt[8]{10} + 3\sqrt[8]{10} - 8\sqrt[8]{10}$

Все три члена этого выражения содержат одинаковый радикал $\sqrt[8]{10}$, поэтому они подобны. Мы можем объединить их, сложив и вычтя их коэффициенты.

Вынесем общий множитель $\sqrt[8]{10}$ за скобки:

$5\sqrt[8]{10} + 3\sqrt[8]{10} - 8\sqrt[8]{10} = (5 + 3 - 8)\sqrt[8]{10}$

Выполним арифметические операции в скобках:

$5 + 3 = 8$

$8 - 8 = 0$

В результате коэффициент перед радикалом становится равным нулю.

$(5 + 3 - 8)\sqrt[8]{10} = 0 \cdot \sqrt[8]{10} = 0$

Любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Ответ: $0$.