Номер 2.127, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.127. Выполните действия:

a) $ \sqrt[3]{24} + \sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - \sqrt{72} + \sqrt{8}; $

б) $ 6\sqrt[4]{5} + \sqrt{20} - \sqrt{180} - \sqrt[8]{25} + 3\sqrt{500}. $

a) Чтобы выполнить действия в выражении $\sqrt[3]{24} + \sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - \sqrt{72} + \sqrt{8}$, необходимо упростить каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня, а затем сгруппировать и сложить подобные слагаемые.

1. Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми показателями корня:
$(\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}) + (\sqrt{50} - \sqrt{72} + \sqrt{8})$

2. Упростим каждый корень в выражении:

• $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

3. Подставим упрощенные значения обратно в сгруппированное выражение:
$(2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3}) + (5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2})$

4. Выполним действия для каждой группы подобных слагаемых:

• $2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} = (2 - 1)\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$
• $5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (5 - 6 + 2)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$

5. Сложим полученные результаты:
$\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$.

б) Для решения выражения $6\sqrt[4]{5} + \sqrt{20} - \sqrt{180} - \sqrt[8]{25} + 3\sqrt{500}$ также упростим каждый член, где это возможно, и приведем подобные слагаемые.

1. Упростим каждый корень:

• $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
• $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$
• $\sqrt[8]{25} = \sqrt[8]{5^2} = 5^{2/8} = 5^{1/4} = \sqrt[4]{5}$
• $3\sqrt{500} = 3\sqrt{100 \cdot 5} = 3 \cdot 10\sqrt{5} = 30\sqrt{5}$

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$6\sqrt[4]{5} + 2\sqrt{5} - 6\sqrt{5} - \sqrt[4]{5} + 30\sqrt{5}$

3. Сгруппируем слагаемые с корнями четвертой степени и с квадратными корнями:
$(6\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}) + (2\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 30\sqrt{5})$

4. Выполним действия в каждой группе:

• $6\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5} = (6 - 1)\sqrt[4]{5} = 5\sqrt[4]{5}$
• $2\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 30\sqrt{5} = (2 - 6 + 30)\sqrt{5} = 26\sqrt{5}$

5. Запишем итоговый результат:
$5\sqrt[4]{5} + 26\sqrt{5}$

Ответ: $5\sqrt[4]{5} + 26\sqrt{5}$.