Номер 2.128, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.128. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt[3]{4} + 5\sqrt[3]{32} - \sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{3} - 4\sqrt[3]{24} + 5\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{81}}$.

a) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt[3]{4} + 5\sqrt[3]{32} - \sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}} $.
Для того чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо его упростить. Для этого приведем все корни в числителе к общему виду $ \sqrt[3]{4} $, вынося множители из-под знака корня:

• $ 5\sqrt[3]{32} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 4} = 5 \cdot \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{4} = 10\sqrt[3]{4} $
• $ \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{4} $

Подставим упрощенные слагаемые обратно в числитель и выполним действия:
$ \sqrt[3]{4} + 10\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{4} = (1 + 10 - 3)\sqrt[3]{4} = 8\sqrt[3]{4} $.
Теперь все выражение принимает вид:
$ \frac{8\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = 8 $.
Результатом является целое число 8. Любое целое число является рациональным.
Ответ: 8.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt[3]{3} - 4\sqrt[3]{24} + 5\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{81}} $.
Аналогично первому пункту, упростим каждый член выражения, приведя их к общему виду $ \sqrt[3]{3} $:

• $ 4\sqrt[3]{24} = 4\sqrt[3]{8 \cdot 3} = 4 \cdot \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 4 \cdot 2\sqrt[3]{3} = 8\sqrt[3]{3} $
• $ 5\sqrt[3]{375} = 5\sqrt[3]{125 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5 \cdot 5\sqrt[3]{3} = 25\sqrt[3]{3} $
• $ \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3} $

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$ \frac{\sqrt[3]{3} - 8\sqrt[3]{3} + 25\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}} = \frac{(1 - 8 + 25)\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}} = \frac{18\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}} $.
Сократив дробь на $ \sqrt[3]{3} $, получим:
$ \frac{18}{3} = 6 $.
Результатом является целое число 6. Любое целое число является рациональным.
Ответ: 6.